Tutoriel Algorithme / comment extraire une racine carrée
Algorithme racine carrée ? Après avoir étudié dans le premier tutoriel mathématique comment calculer la racine carrée à la main. Nous nous intéressons dans ce tuto à l’algorithme qui permet d’extraire une racine carrée.
Comment extraire la racine carrée d’un nombre avec un calcul manuel ?
On pourrait penser que cette opération est de peu d’utilité (nous avons des calculatrices et… excellons !) et peu de valeur didactique puisqu’il s’agit d’une procédure, d’un algorithme, qui s’apprend généralement mécaniquement.
Cependant, il est possible, du moins en partie au collège, de comprendre les « étapes » à franchir, réalisant ainsi le calcul pour l’extraction d’une racine carrée, avec une certaine conscience.
Les outils pour bien comprendre l’algorithme sont acquis avec l’étude du calcul littéral et précisément des produits remarquables. Pour l’instant ces outils ne sont pas à la portée de la classe de septième.
Cependant, nous avons essayé, ensemble, de comprendre pourquoi nous devons procéder d’une certaine manière….
——— Tutoriel algorithme extraction de la racine carrée—–
Une première estimation.
Considérons le nombre de chiffres de la partie entière de la racine de tout entier.
La racine d’un entier à 2 chiffres a un seul chiffre.
La racine d’un nombre entier à 3 ou 4 chiffres est un nombre à 2 chiffres.
La racine d’un entier à 5 ou 6 chiffres a 3 chiffres.
La racine d’un entier à 7 ou 8 chiffres comporte 4 chiffres. ….
Une seconde estimation :
quel est le premier chiffre de la racine d’un nombre ?
Considérons un nombre à 3 chiffres : 354.
Nous avons établi que la racine, dans toute sa partie, est composée de 2 chiffres. Le premier chiffre ne peut donc être qu’un 1. En supposant que 2, le plus petit nombre de 2 chiffres, serait 20, mais 20 ^ 2 = 400 !
Considérons un nombre à 4 chiffres : 1378
Sa racine, dans toute sa partie, est composée de 2 chiffres. Le premier chiffre ne peut être que 3. Si nous supposons 4, le plus petit nombre à 2 chiffres serait 40, mais 40 ^ 2 = 1600 !
De ces observations découle la nécessité de diviser le nombre dont la racine, le radicande, doit être extraite en groupes de 2 chiffres en partant de la droite.
Alors préparons-nous à extraire la racine de n’importe quel nombre. Prenons le numéro à 5 chiffres 14161 comme exemple
En savoir plus sur estimation
Étape 1:
divisons le nombre en groupes de deux chiffres en partant de la droite :
Il faut trouver un nombre qui élevé à la puissance 2 ne dépasse pas 1. Ce nombre est 1. Le premier chiffre de la racine sera 1. On fait 1 ^ 2. Le résultat doit être soustrait du nombre 1 (à gauche) du radicande.
À ce point,
Étape 2:
voulons-nous nous rappeler comment effectuer une division ?
On est amené à dire : “Aah ! A bas 4 !”
Et non, attention ! On extrait une racine carrée qui est l’inverse de l’exponentiation de 2 !
Par conséquent …. 2 chiffres sont abaissés!
Voici (soustraction 1-1, en abrégé) la situation :
Étape 3:
c’est celui dont la compréhension est hors de notre portée !
Le résultat obtenu jusqu’ici, le chiffre 1, est doublé et écrit sous la ligne de partage : on obtient 2.
Maintenant… attention : il faut trouver un chiffre, indiquons-le par x, à placer à côté de 2 pour obtenir 2x et tel que 2x * x ne dépasse pas 41, le “reste” que l’on a en bas à gauche .
Comment réguler ?
Le chiffre x ne peut pas être un 3 car : 23 * 3 = 69
Serait-ce 2 ? Pourrait être! En fait 22 * 2 = 44. Au moins avec les dizaines, nous y sommes !
Cependant, 44 est supérieur à 41, donc le bon chiffre est 1.
Le “deal” avec les dizaines est donc la contrepartie exacte à “régler”. Ce qui signifie ne pas “aller au nez”, mais choisir en toute conscience !
Il peut donc être utile de séparer le chiffre des dizaines dans le reste, ex. : dans 41, mettre un point (en bas, pour ne pas confondre avec la précédente séparation du radicande) : 4.1, puis établir : le 2 dans le 4 est contenu (ci sta) 2 fois. Vérifiez, en exécutant le produit, que le chiffre 2 est trop élevé et essayez le chiffre inférieur : 1.
Le chiffre valide 1 complète le résultat, puis rejoint le premier chiffre (1), obtenu précédemment.
Le produit 21 doit être soustrait de 41.
Voici le schéma (soustraction 41-21 en abrégé) :
Étape 4:
les 2 autres chiffres du radicande sont abaissés, 61 ;
la procédure est répétée : je double encore le résultat obtenu jusqu’ici, et je l’écris sous une deuxième ligne de séparation : 22.
Je recherche un chiffre x, à placer à côté de 22 pour obtenir 22x et tel que 22x * x ne dépasse pas 2061, le “reste” que nous avons maintenant en bas à gauche.
Comment “gouvernez-vous” ?
Séparons le dernier chiffre du reste. Considérons combien de fois 22 est contenu dans 206, puis 2 sur 20. Nous savons que 2 sur 20 est contenu 10 fois. On peut donc commencer par placer le chiffre 9 à côté.
Si 229 * 9 devait dépasser 2061, nous écririons, sous une autre ligne de séparation [nous n’avons donc pas besoin de biffer (ou de gâcher)], 228 * 8. Mais… nous n’y sommes pas allés “par le nez” ! 🙂
Notre 229*9 est pourtant égal à 2061. Ça va… parfait !
Le chiffre 9 complète le résultat. On soustrait le produit 2061 de 2061 et … reste pair (zéro) !
La résolution du problème
La racine carrée de 14161 est 119.
Le nombre 14161 est un carré parfait – nous n’avons pas de reste.
Si le radicande n’était pas un carré parfait, nous aurions le reste différent de zéro.
Comment continuer ?
“Je mets la virgule dans le résultat et j’ajoute… le zéro au reste !”
Et non! Toujours l’attention habituelle ! J’extrait la racine carrée qui est …
Je dois ajouter 2 zéros au reste !
Ensuite, je répète l’étape 4 …..
Dès lors, même l’algorithme d’extraction de racine carrée offre des pistes pour prendre conscience (et maîtriser) le calcul !
Bien sûr, si l’extraction de racine devient un outil pour résoudre d’autres questions, le calcul est fait par la calculatrice !
… et nous devrions néanmoins être en mesure de constater d’éventuelles erreurs grossières dues à des dysfonctionnements ou à nos distractions en donnant des instructions à la machine ! 🙂
Je signale cet article sur le net, par .mau. qui offre encore un exemple et une explication étape par étape de l’algorithme.
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