Tutoriel mathématiques: calculer la racine carrée à la main

Dans ce tutoriel autour de la racine carrée, je vais vous raconter une histoire, mais avant tout, je dois répondre la question fondamentale.

C’est quoi la racine carrée ?

Plusieurs ceux qui disent que la racine carrée est-elle comme une division..
… Eh bien, je dirais non ! En fait, la procédure pour calculer la racine à la main est un peu similaire à celle pour diviser par colonne, pour ces 2 raisons :

lors du calcul de la racine, les chiffres sont “abaissés” (un peu comme en division)
tant dans le calcul de la racine que dans le calcul de la division, on passe par des “tentatives”.
… Mais rappelez-vous que ce sont les deux seules choses que la racine et la division ont en commun !

————— Tutoriel racine carrée———————-

En fait, sinon ce sont deux opérations totalement différentes, car :

la division nous fait calculer “combien de fois un nombre est dans l’autre”.
Exemple : la division 24 : 8 est 3, car 8 sur 24 correspond à 3 fois
au lieu de cela, la racine carrée nous fait calculer quel est ce nombre qui, si vous l’élevez à 2, vous donne comme résultat le nombre même dont vous calculez la racine.
Exemple : la racine carrée de 81 est 9, car si vous relancez 9² vous obtenez 81.
Cette vidéo date d’avril 2020 et je l’affectionne particulièrement, car elle fait partie des toutes premières vidéos que j’ai réalisées pendant le confinement de 2020.

Notre histoire avec la racine carrée

Le professeur a écrit au tableau :

Il nous a demandé de calculer la valeur : qu’est-ce qui est égal à la racine carrée de 3 élevée à la seconde ?
Quelqu’un a immédiatement dit : c’est égal à 3 !
Comme d’habitude, le professeur, disant que nous avions été bons, nous a demandé pourquoi.
Nous avons pu dire qu’il y avait deux opérations, l’une inverse de l’autre : l’exponentiation et l’extraction de racine.
Eh bien, nous avons donc commenté que c’est comme si nous avions simplifié le 2, l’indice racine sous-jacent, avec l’exposant 2 de la puissance :

Nous l’avons aussi écrit ainsi :

Ainsi, le radicande est 9 … nous savons que la racine de 9 est égale à 3.
Après avoir donné d’autres exemples de ce type, le prof nous a demandé :

  • à ce stade, ne pensez-vous pas qu’il s’agit encore d’une méthode pour extraire la racine carrée d’un nombre ?
    Nous avons dit : Oui, en simplifiant l’exposant avec l’index racine !
    Tout semblait clair mais …..:
    Que faire si je n’ai pas l’enracinement sous forme de puissance?
    On a réfléchi un peu… aux questions du prof… pour avoir un numéro sous forme de pouvoir…. il y a un outil, de la “boite à outils”…., enfin on s’est dit :
  • premier le nombre
    Mais alors, un problème : il fallait simplifier les exposants et si les exposants étaient impairs, on ne pouvait pas simplifier ! Donc:
    les exposants du nombre, lorsqu’ils sont décomposés en facteurs premiers, doivent être pairs.
    Ensuite, vous pouvez facilement extraire la racine. Par example,
    on considère 3600, factorisé premier : 2 ^ 4 * 3 ^ 2 * 5 ^ 2

Lire aussi calculer la racine carrée avec algorithme python

On simplifie tous les exposants (pairs, donc divisibles par 2) avec l’indice racine, 2. Et puis le symbole racine disparaît !
Avec ce travail, en plus d’extraire la racine d’une autre manière, nous avons vérifié deux choses :
la factorisation première (outil de la “boite à outils”), permet de savoir si un nombre est un carré parfait : si les exposants sont tous pairs, le nombre est un carré parfait (on peut donc extraire la racine avec cette méthode)
Nous avons extrait la racine en simplifiant les exposants de tous les facteurs avec le même indice racine.
Qu’avons-nous fait alors ??? (questions … questions …. prof)
Nous y sommes arrivés !

L’opération d’extraction de racine a la propriété distributive : nous avons distribué la racine aux facteurs individuels de l’enracinement. Ensuite, après avoir simplifié, nous avons multiplié les racines carrées des facteurs individuels.
On retrouve cette propriété avec la racine d’une fraction.

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