Quels sont les cas où la VAN et le TRI ne concordent pas ?

Il est fréquent que la Valeur Actuelle Nette (VAN) et le Taux de Rendement Interne (TRI) mènent à des conclusions différentes lors de l’évaluation d’un projet d’investissement. Bien que ces deux indicateurs financiers soient liés et souvent utilisés ensemble pour analyser la rentabilité d’un projet, certains cas spécifiques peuvent provoquer une discordance entre les résultats de la VAN et du TRI.

1. Projets Mutuellement Exclusifs

Dans les projets mutuellement exclusifs, la VAN et le TRI peuvent donner des résultats contradictoires. Cela se produit souvent lorsque les projets ont des tailles ou des durées d’investissement différentes.

Exemple

Deux projets d’investissement :

• Projet A : Investissement de 50 000 € avec une VAN de 8 000 € et un TRI de 15 %.
• Projet B : Investissement de 20 000 € avec une VAN de 7 000 € et un TRI de 18 %.

Formule de la VAN

VAN = Flux de trésorerie actualisé - Investissement initial

Calcul des projets

• Projet A :

  VAN_A = 8000 €
  TRI_A = 15 %

• Projet B :

  VAN_B = 7000 €
  TRI_B = 18 %

Conclusion :

Bien que le Projet B ait un TRI plus élevé, le Projet A est plus rentable en termes de VAN, car il crée plus de valeur absolue.

2. Flux de Trésorerie Non Conventionnels

Lorsque les flux de trésorerie changent de signe plus d’une fois (flux non conventionnels), cela peut générer plusieurs valeurs de TRI, ce qui rend son interprétation difficile.

Exemple

Un projet avec des flux de trésorerie non conventionnels :

Investissement_initial: 10000
Flux_de_trésorerie:
  - Annee_1: 5000
  - Annee_2: 4000
  - Annee_3: -3000  # Flux négatif
  - Annee_4: 7000

Formule de la VAN

VAN = - Investissement initial + Σ (Flux de trésorerie / (1 + r)^t)

Calcul

Si le projet génère plusieurs TRI à cause des flux non conventionnels, il devient difficile de choisir un taux unique. La VAN reste fiable dans ce cas, mais le TRI peut être ambigu ou multiple.

3. Différences de Taille d’Investissement

Quand deux projets ont des tailles d’investissement très différentes, le TRI peut être trompeur, car il ne prend pas en compte la taille de l’investissement.

Exemple

Deux projets avec des tailles d’investissement différentes :

• Projet X : Investissement de 100 000 €, TRI de 18 %, VAN de 20 000 €.
• Projet Y : Investissement de 20 000 €, TRI de 25 %, VAN de 5 000 €.

Formule de la VAN

VAN = Flux de trésorerie actualisé - Investissement initial

Calcul des projets

• Projet X :

  VAN_X = 20000 €
  TRI_X = 18 %

• Projet Y :

  VAN_Y = 5000 €
  TRI_Y = 25 %

Conclusion :

Le Projet X a une VAN plus élevée, ce qui signifie qu’il génère plus de valeur absolue pour l’entreprise, même si son TRI est inférieur à celui du Projet Y.

4. Différences dans les Horizons de Temps

Les projets avec des durées de vie différentes peuvent également entraîner des différences entre la VAN et le TRI.

Exemple

Deux projets avec des durées de vie différentes :

• Projet A : Investissement de 50 000 €, durée de vie de 3 ans, TRI de 20 %, VAN de 7 000 €.
• Projet B : Investissement de 50 000 €, durée de vie de 10 ans, TRI de 15 %, VAN de 10 000 €.

Formule de la VAN

VAN = Flux de trésorerie actualisé - Investissement initial

Calcul des projets

• Projet A :

  VAN_A = 7000 €
  TRI_A = 20 %

• Projet B :

  VAN_B = 10000 €
  TRI_B = 15 %

Conclusion :

Bien que le Projet A ait un TRI plus élevé, le Projet B crée plus de valeur sur le long terme avec une VAN plus élevée.

5. Coût du Capital Différent

Lorsque le coût du capital est très différent du TRI, cela peut entraîner des divergences entre les conclusions de la VAN et du TRI.

Exemple

Deux projets avec des coûts du capital différents :

• Projet C : TRI de 9 %, VAN de 1 000 €, coût du capital de 8 %.
• Projet D : TRI de 12 %, VAN de -500 €, coût du capital de 10 %.

Formule de la VAN

VAN = Flux de trésorerie actualisé - Investissement initial

Calcul des projets

• Projet C :

  VAN_C = 1000 €
  TRI_C = 9 %
  Cout_capital_C = 8 %

• Projet D :

  VAN_D = -500 €
  TRI_D = 12 %
  Cout_capital_D = 10 %

Conclusion :

Bien que le Projet D ait un TRI plus élevé, sa VAN est négative, indiquant qu’il n’est pas rentable. Le Projet C est en fait plus rentable car il a une VAN positive.

Conclusion Générale

Les situations où la VAN et le TRI ne concordent pas sont les suivantes :

1. Projets mutuellement exclusifs (différences de taille ou de durée).
2. Flux de trésorerie non conventionnels (changement de signe).
3. Différences dans la taille des investissements.
4. Différences dans les horizons temporels.
5. TRI proche ou différent du coût du capital.

Dans ces cas, la VAN est souvent un indicateur plus fiable que le TRI pour déterminer la valeur réelle d’un projet d’investissement.

Exercices Corrigés : Cas où la VAN et le TRI ne Concordent pas

La VAN (Valeur Actuelle Nette) et le TRI (Taux de Rendement Interne) sont deux indicateurs financiers utilisés pour évaluer la rentabilité d’un projet d’investissement. Cependant, dans certaines situations, ces deux indicateurs peuvent conduire à des conclusions différentes. Voici quelques exercices corrigés qui illustrent les cas où la VAN et le TRI ne concordent pas.

Exercice 1 : Projets Mutuellement Exclusifs

Énoncé :

Une entreprise a deux projets d’investissement à évaluer. Les deux projets nécessitent un investissement initial de 20 000 €, et ont les flux de trésorerie suivants :

Le taux d’actualisation est de 10 %. Calculez la VAN et le TRI de chaque projet et déterminez lequel est le plus rentable.

Solution :

1. Calcul de la VAN pour chaque projet

VAN du Projet A :

VAN_A = -20 000 + (12 000 / (1 + 0.10)^1) + (10 000 / (1 + 0.10)^2) + (6 000 / (1 + 0.10)^3)
VAN_A = -20 000 + 10 909.09 + 8 264.46 + 4 507.61
VAN_A = 1 681.16 €

VAN du Projet B :

VAN_B = -20 000 + (6 000 / (1 + 0.10)^1) + (8 000 / (1 + 0.10)^2) + (12 000 / (1 + 0.10)^3)
VAN_B = -20 000 + 5 454.55 + 6 611.57 + 9 015.29
VAN_B = 1 081.41 €

2. Calcul du TRI pour chaque projet

Le TRI se calcule en trouvant le taux (r) tel que la VAN soit égale à 0.

• TRI du Projet A = 17 % (calcul avec une calculatrice financière ou Excel).
• TRI du Projet B = 14 %.

3. Conclusion :

• Projet A a une VAN plus élevée que le Projet B (1 681,16 € contre 1 081,41 €), ce qui signifie qu’il crée plus de valeur pour l’entreprise.
• Toutefois, le Projet B a un TRI inférieur mais plus proche de la rentabilité relative. La VAN est plus fiable, car elle mesure la création de valeur absolue, même si le TRI du projet B est plus proche de la rentabilité relative.

Exercice 2 : Flux de Trésorerie Non Conventionnels

Énoncé :

Une entreprise a l’opportunité de réaliser un projet d’investissement qui nécessite un capital initial de 10 000 € et qui génère les flux de trésorerie suivants :

Le taux d’actualisation est de 12 %. Calculez la VAN et les TRI possibles pour ce projet.

Solution :

1. Calcul de la VAN

VAN = -10 000 + (6 000 / (1 + 0.12)^1) + (-2 000 / (1 + 0.12)^2) + (8 000 / (1 + 0.12)^3)
VAN = -10 000 + 5 357.14 + (-1 594.23) + 5 694.20
VAN = -542.89 €

La VAN est négative (-542,89 €), ce qui indique que le projet n’est pas rentable avec un taux d’actualisation de 12 %.

2. Calcul du TRI

En raison des flux de trésorerie non conventionnels (changement de signe), il y a deux TRI possibles :

• TRI 1 = 5 %
• TRI 2 = 18 %

Cela se produit parce que les flux de trésorerie incluent à la fois des entrées et des sorties de fonds, ce qui crée plusieurs solutions pour le TRI.

3. Conclusion :

• La VAN négative indique que le projet n’est pas rentable à un taux de 12 %.
• Cependant, les deux TRI obtenus compliquent l’interprétation. Le TRI n’est pas fiable dans ce cas en raison des flux non conventionnels.

Exercice 3 : Différentes Tailles d’Investissement

Énoncé :

Deux projets sont proposés à une entreprise, mais ils ont des tailles d’investissement différentes :

Le taux d’actualisation est de 8 %. Calculez la VAN et le TRI de chaque projet.

Solution :

1. Calcul de la VAN pour chaque projet

VAN du Projet X :

VAN_X = -100 000 + (60 000 / (1 + 0.08)^1) + (70 000 / (1 + 0.08)^2) + (80 000 / (1 + 0.08)^3)
VAN_X = -100 000 + 55 555.56 + 60 017.13 + 63 492.46
VAN_X = 19 065.14 €

VAN du Projet Y :

VAN_Y = -20 000 + (10 000 / (1 + 0.08)^1) + (15 000 / (1 + 0.08)^2) + (18 000 / (1 + 0.08)^3)
VAN_Y = -20 000 + 9 259.26 + 12 845.68 + 14 280.95
VAN_Y = 6 385.89 €

2. Calcul du TRI pour chaque projet

• TRI du Projet X = 15 %.
• TRI du Projet Y = 20 %.

3. Conclusion :

• Le Projet X a une VAN plus élevée (19 065,14 €) que le Projet Y (6 385,89 €), bien que son TRI soit inférieur.
• Le Projet Y semble plus rentable en termes de TRI, mais en termes de création de valeur absolue, le Projet X est préférable.
• Cela montre que le TRI ne prend pas en compte la taille de l’investissement, contrairement à la VAN, qui est plus appropriée pour évaluer la rentabilité des projets de taille différente.

Voici la suite de l’Exercice 4 :

Exercice 4 : Projets avec Différentes Durées

Énoncé :

Deux projets d’investissement ont des durées différentes mais nécessitent le même investissement initial de 50 000 €.

Le taux d’actualisation est de 8 %. Calculez la VAN et le TRI de chaque projet et comparez-les pour déterminer lequel est le plus rentable.

Solution :

1. Calcul de la VAN pour chaque projet

VAN du Projet A :

VAN_A = -50 000 + (20 000 / (1 + 0.08)^1) + (20 000 / (1 + 0.08)^2) + (20 000 / (1 + 0.08)^3) + (20 000 / (1 + 0.08)^4)
VAN_A = -50 000 + 18 518.52 + 17 145.87 + 15 879.51 + 14 703.25
VAN_A = 16 247.15 €

VAN du Projet B :

VAN_B = -50 000 + (15 000 / (1 + 0.08)^1) + (15 000 / (1 + 0.08)^2) + (15 000 / (1 + 0.08)^3) + (10 000 / (1 + 0.08)^4)
VAN_B = -50 000 + 13 888.89 + 12 860.27 + 11 907.67 + 7 351.63
VAN_B = -3 991.54 €

2. Calcul du TRI pour chaque projet

Le TRI se calcule en résolvant l’équation de la VAN, mais pour simplifier :

• TRI du Projet A = 16 %.
• TRI du Projet B = 6 %.

3. Conclusion :

• Le Projet A a une VAN de 16 247,15 € et un TRI de 16 %, tandis que le Projet B a une VAN négative de -3 991,54 € et un TRI de 6 %.
• Bien que le Projet A ait une durée plus longue, il est clairement plus rentable que le Projet B, car il génère une VAN positive et un TRI supérieur.
• Le Projet B, malgré un TRI positif, est en fait destructeur de valeur, car sa VAN est négative.

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