Conversions entre systèmes numériques : Binaire, Décimal, Hexadécimal et Octal – Cas particuliers
Les systèmes numériques tels que le binaire, le décimal, l’hexadécimal et l’octal sont utilisés en informatique pour représenter et manipuler les données. Les conversions entre ces systèmes sont essentielles, mais certains cas particuliers méritent une attention spéciale en raison de leur comportement ou de leur rôle dans le traitement des données.
Dans ce guide, nous allons explorer les cas particuliers lors des conversions entre ces systèmes numériques.
1. Cas particulier du zéro
Le nombre zéro est identique dans tous les systèmes numériques. Il est représenté par 0 dans le binaire, le décimal, l’hexadécimal, et l’octal.
| Système | Représentation du zéro |
|---|---|
| Binaire | 0 |
| Décimal | 0 |
| Hexadécimal | 0 |
| Octal | 0 |
Bien que simple, ce cas est important car il n’y a pas de variation entre les systèmes numériques, contrairement à d’autres nombres.
2. Puissances de 2 en binaire, décimal, hexadécimal et octal
Les puissances de 2 (2, 4, 8, 16, 32, 64, etc.) ont une représentation particulièrement simple dans ces systèmes. En binaire, ces nombres sont représentés par un 1 suivi de zéros, et en hexadécimal ou octal, ils sont également représentés de manière concise.
Exemples :
| Puissance de 2 | Binaire | Décimal | Hexadécimal | Octal |
|---|---|---|---|---|
| 2⁰ = 1 | 0001 | 1 | 1 | 1 |
| 2¹ = 2 | 0010 | 2 | 2 | 2 |
| 2² = 4 | 0100 | 4 | 4 | 4 |
| 2³ = 8 | 1000 | 8 | 8 | 10 |
| 2⁴ = 16 | 10000 | 16 | 10 | 20 |
| 2⁵ = 32 | 100000 | 32 | 20 | 40 |
| 2⁶ = 64 | 1000000 | 64 | 40 | 100 |
| 2⁷ = 128 | 10000000 | 128 | 80 | 200 |
Les puissances de 2 apparaissent fréquemment en informatique, et leur conversion est particulièrement simple dans ces systèmes, ce qui les rend intéressantes dans le traitement de données et les calculs.
3. Nombres tout en 1 en binaire
Les nombres composés uniquement de 1 en binaire représentent des valeurs particulières, notamment les plus grandes valeurs possibles pour un certain nombre de bits. Ces nombres sont importants pour définir des limites ou des plages de valeurs.
Exemples pour des valeurs tout en 1 :
| Binaire | Décimal | Hexadécimal | Octal |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 |
| 11 | 3 | 3 | 3 |
| 111 | 7 | 7 | 7 |
| 1111 | 15 | F | 17 |
| 11111 | 31 | 1F | 37 |
| 111111 | 63 | 3F | 77 |
| 1111111 | 127 | 7F | 177 |
| 11111111 | 255 | FF | 377 |
Ces nombres sont utilisés dans la gestion des limites des tailles de données (par exemple, 8 bits peuvent représenter un maximum de 255 en décimal ou FF en hexadécimal).
4. Puissances de 8 et de 16 dans les conversions
Les puissances de 8 et de 16 sont particulièrement intéressantes lorsqu’on convertit entre l’octal, l’hexadécimal, et les autres systèmes. En effet, les systèmes octal et hexadécimal sont basés sur des puissances de 2, ce qui facilite les conversions.
Exemples de puissances de 8 et de 16 :
| Puissance | Binaire | Décimal | Octal | Hexadécimal |
|---|---|---|---|---|
| 8¹ = 8 | 00001000 | 8 | 10 | 8 |
| 8² = 64 | 01000000 | 64 | 100 | 40 |
| 8³ = 512 | 1000000000 | 512 | 1000 | 200 |
| 16¹ = 16 | 00010000 | 16 | 20 | 10 |
| 16² = 256 | 000100000000 | 256 | 400 | 100 |
Les puissances de 8 et de 16 permettent de comprendre comment les conversions sont effectuées facilement en fonction de la base utilisée.
5. Conversion des fractions
La conversion des fractions entre systèmes de numération est un cas particulier souvent négligé. En effet, la partie entière peut être convertie normalement, mais la partie fractionnaire doit être multipliée par la base de destination (2 pour binaire, 8 pour octal, 16 pour hexadécimal) jusqu’à ce qu’on obtienne un résultat entier ou une approximation satisfaisante.
Exemple : Conversion de 0,625 en binaire
- Multipliez 0,625 par 2 :
0,625 × 2 = 1,25 → 1 - Prenez la partie fractionnaire (0,25) et multipliez par 2 :
0,25 × 2 = 0,5 → 0 - Multipliez encore la partie fractionnaire (0,5) par 2 :
0,5 × 2 = 1 → 1
Ainsi, 0,625 en décimal correspond à 0,101 en binaire.
6. Limites des représentations en bits fixes
Dans les systèmes binaires, la taille des mots ou des bits alloués pour stocker un nombre impose une limite sur les valeurs maximales et minimales que l’on peut représenter.
Exemple : Limites sur 8 bits
- Nombre binaire non signé (unsigned) :
- Plage : de 0 à 255 (soit 11111111 en binaire ou FF en hexadécimal).
- Nombre binaire signé (signed) en complément à deux :
- Plage : de -128 (soit 10000000) à 127 (soit 01111111).
Ces limites influencent la manière dont les nombres peuvent être représentés et convertis d’un système à l’autre.
7. Cas des multiples de 2 dans les conversions
Les multiples de 2 ont une particularité intéressante lors des conversions, notamment entre binaire, octal, et hexadécimal. Ils se terminent souvent par une série de zéros dans leurs représentations binaires, ce qui simplifie les conversions.
Exemple : Conversion du nombre 32 (qui est un multiple de 2) en différents systèmes.
- Binaire : 32 = 100000
- Hexadécimal : 32 = 20
- Octal : 32 = 40
La représentation avec des zéros terminaux est une caractéristique récurrente des multiples de 2 dans les systèmes binaires et leurs conversions.
Les conversions entre les systèmes binaire, décimal, hexadécimal, et octal comportent des cas particuliers qui facilitent ou compliquent le processus selon les circonstances. La gestion des puissances de 2, des limites imposées par les bits fixes, ainsi que les nombres tout en 1 ou les fractions nécessitent des stratégies adaptées pour garantir des conversions précises et efficaces.
La compréhension de ces cas particuliers permet non seulement de maîtriser les conversions numériques, mais aussi de mieux appréhender leur importance dans les systèmes informatiques et les algorithmes.
Exercices corrigés sur les conversions entre systèmes numériques : binaire, décimal, hexadécimal, et octal
Voici une série d’exercices pour vous entraîner à effectuer des conversions entre les systèmes numériques binaire, décimal, hexadécimal, et octal, ainsi que des cas particuliers. Les solutions sont fournies avec des explications détaillées pour chaque exercice.
Exercice 1 : Conversion du binaire vers le décimal
Convertir le nombre binaire 101011 en décimal.
Solution :
Chaque bit en binaire représente une puissance de 2, en commençant par 2⁰ pour le bit le plus à droite.
101011 en binaire
= (1 × 2⁵) + (0 × 2⁴) + (1 × 2³) + (0 × 2²) + (1 × 2¹) + (1 × 2⁰)
= (1 × 32) + (0 × 16) + (1 × 8) + (0 × 4) + (1 × 2) + (1 × 1)
= 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 1
= 43Réponse : 101011 en binaire est égal à 43 en décimal.
Exercice 2 : Conversion du décimal vers le binaire
Convertir le nombre décimal 75 en binaire.
Solution :
Divisez le nombre par 2 de manière répétée, en notant les restes. Ensuite, lisez les restes de bas en haut.
75 ÷ 2 = 37, reste 1
37 ÷ 2 = 18, reste 1
18 ÷ 2 = 9, reste 0
9 ÷ 2 = 4, reste 1
4 ÷ 2 = 2, reste 0
2 ÷ 2 = 1, reste 0
1 ÷ 2 = 0, reste 1En lisant les restes de bas en haut, on obtient 1001011.
Réponse : 75 en décimal est égal à 1001011 en binaire.
Exercice 3 : Conversion du binaire vers l’hexadécimal
Convertir le nombre binaire 10111010 en hexadécimal.
Solution :
Divisez le nombre binaire en groupes de 4 bits en partant de la droite :
10111010 → 1011 1010Ensuite, convertissez chaque groupe en hexadécimal :
- 1011 = B
- 1010 = A
Ainsi, 10111010 en binaire devient BA en hexadécimal.
Réponse : 10111010 en binaire est égal à BA en hexadécimal.
Exercice 4 : Conversion de l’hexadécimal vers le binaire
Convertir le nombre hexadécimal 3C7 en binaire.
Solution :
Chaque chiffre hexadécimal correspond à un groupe de 4 bits en binaire.
- 3 en hexadécimal = 0011 en binaire
- C en hexadécimal = 1100 en binaire
- 7 en hexadécimal = 0111 en binaire
Ainsi, 3C7 en hexadécimal devient 0011 1100 0111 en binaire.
Réponse : 3C7 en hexadécimal est égal à 001111000111 en binaire.
Exercice 5 : Conversion du décimal vers l’hexadécimal
Convertir le nombre décimal 255 en hexadécimal.
Solution :
Divisez le nombre par 16 de manière répétée, en notant les restes.
255 ÷ 16 = 15, reste 15 (F en hexadécimal)
15 ÷ 16 = 0, reste 15 (F en hexadécimal)En lisant les restes de bas en haut, on obtient FF.
Réponse : 255 en décimal est égal à FF en hexadécimal.
Exercice 6 : Conversion du décimal vers l’octal
Convertir le nombre décimal 100 en octal.
Solution :
Divisez le nombre par 8 de manière répétée, en notant les restes.
100 ÷ 8 = 12, reste 4
12 ÷ 8 = 1, reste 4
1 ÷ 8 = 0, reste 1En lisant les restes de bas en haut, on obtient 144.
Réponse : 100 en décimal est égal à 144 en octal.
Exercice 7 : Conversion de l’octal vers le décimal
Convertir le nombre octal 732 en décimal.
Solution :
Chaque chiffre octal correspond à une puissance de 8.
732 en octal
= (7 × 8²) + (3 × 8¹) + (2 × 8⁰)
= (7 × 64) + (3 × 8) + (2 × 1)
= 448 + 24 + 2
= 474Réponse : 732 en octal est égal à 474 en décimal.
Exercice 8 : Conversion de l’octal vers le binaire
Convertir le nombre octal 765 en binaire.
Solution :
Chaque chiffre octal correspond à un groupe de 3 bits en binaire.
- 7 en octal = 111 en binaire
- 6 en octal = 110 en binaire
- 5 en octal = 101 en binaire
Ainsi, 765 en octal devient 111 110 101 en binaire.
Réponse : 765 en octal est égal à 111110101 en binaire.
Exercice 9 : Conversion du binaire vers l’octal
Convertir le nombre binaire 110110 en octal.
Solution :
Divisez le nombre binaire en groupes de 3 bits en partant de la droite. Si nécessaire, ajoutez des zéros à gauche pour compléter le dernier groupe.
110110 → 110 110Ensuite, convertissez chaque groupe en octal :
- 110 = 6
- 110 = 6
Ainsi, 110110 en binaire devient 66 en octal.
Réponse : 110110 en binaire est égal à 66 en octal.
Exercice 10 : Conversion de l’hexadécimal vers le décimal
Convertir le nombre hexadécimal 1A3 en décimal.
Solution :
Chaque chiffre hexadécimal correspond à une puissance de 16.
1A3 en hexadécimal
= (1 × 16²) + (A × 16¹) + (3 × 16⁰)
= (1 × 256) + (10 × 16) + (3 × 1)
= 256 + 160 + 3
= 419Réponse : 1A3 en hexadécimal est égal à 419 en décimal.
Exercice 11 : Conversion de fractions en binaire
Convertir le nombre décimal 0,375 en binaire.
Solution :
Multipliez la partie fractionnaire par 2, en notant la partie entière à chaque étape :
0,375 × 2 = 0,75 → 0
0,75 × 2 = 1,5 → 1
0,5 × 2 = 1 → 1En lisant les parties entières de haut en bas, on obtient 0,011.
Réponse : 0,375 en décimal est égal à 0,011 en binaire.
Ces exercices couvrent plusieurs types de conversions entre les systèmes numériques binaire, décimal, hexadécimal, et octal, ainsi que des cas particuliers comme les puissances de 2, les fractions, et les représentations compactes. Ces conversions sont fondamentales en informatique pour manipuler et comprendre les données.
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