Exemple détaillé de la méthode PERT

L’analyse PERT est particulièrement utile pour planifier des projets complexes et incertains, car elle prend en compte la variabilité des durées des activités. Elle utilise trois estimations de durée : optimiste, la plus probable et pessimiste, pour calculer une durée moyenne pondérée.

Situation :

Un projet comporte cinq activités principales (A, B, C, D, E) avec des dépendances entre elles. Vous disposez des durées estimées pour chaque activité selon trois scénarios : optimiste, probable, et pessimiste.

Données :

Activité	Durée Optimiste (O)	Durée la plus probable (M)	Durée Pessimiste (P)
A	2 jours	4 jours	6 jours
B	3 jours	5 jours	7 jours
C	1 jour	2 jours	4 jours
D	2 jours	3 jours	5 jours
E	4 jours	5 jours	9 jours

Les dépendances entre les activités sont les suivantes :

A doit être terminée avant de commencer B et C.
B et C doivent être terminées avant de commencer D.
D doit être terminée avant de commencer E.

Étape 1 : Calcul de la durée moyenne pondérée pour chaque activité

La durée moyenne pondérée (TE) pour chaque activité se calcule à partir des trois durées (optimiste, probable, pessimiste) selon la formule PERT :

Calcul des durées moyennes :

A:
  optimiste: 2
  probable: 4
  pessimiste: 6
  duree_moyenne: (optimiste + 4 * probable + pessimiste) / 6  # Résultat: 4 jours

B:
  optimiste: 3
  probable: 5
  pessimiste: 7
  duree_moyenne: (optimiste + 4 * probable + pessimiste) / 6  # Résultat: 5 jours

C:
  optimiste: 1
  probable: 2
  pessimiste: 4
  duree_moyenne: (optimiste + 4 * probable + pessimiste) / 6  # Résultat: 2,17 jours

D:
  optimiste: 2
  probable: 3
  pessimiste: 5
  duree_moyenne: (optimiste + 4 * probable + pessimiste) / 6  # Résultat: 3,17 jours

E:
  optimiste: 4
  probable: 5
  pessimiste: 9
  duree_moyenne: (optimiste + 4 * probable + pessimiste) / 6  # Résultat: 5,33 jours

Durée moyenne pour A : (\frac{2 + 4 \times 4 + 6}{6} = 4 ) jours
Durée moyenne pour B : (\frac{3 + 4 \times 5 + 7}{6} = 5 ) jours
Durée moyenne pour C : (\frac{1 + 4 \times 2 + 4}{6} = 2,17 ) jours
Durée moyenne pour D : (\frac{2 + 4 \times 3 + 5}{6} = 3,17 ) jours
Durée moyenne pour E : (\frac{4 + 4 \times 5 + 9}{6} = 5,33 ) jours

Étape 2 : Identification du chemin critique

Dans PERT, le chemin critique est le chemin qui détermine la durée totale du projet. Il est constitué des activités pour lesquelles tout retard entraîne un retard du projet.

Dépendances :

Chemin 1 : A → B → D → E
Chemin 2 : A → C → D → E

Calcul de la durée de chaque chemin :

# Chemin 1
chemin1_duree_totale: duree_moyenne_A + duree_moyenne_B + duree_moyenne_D + duree_moyenne_E  # Résultat: 17,5 jours

# Chemin 2
chemin2_duree_totale: duree_moyenne_A + duree_moyenne_C + duree_moyenne_D + duree_moyenne_E  # Résultat: 14,67 jours

Durée totale du chemin 1 : (4 + 5 + 3,17 + 5,33 = 17,5 ) jours
Durée totale du chemin 2 : (4 + 2,17 + 3,17 + 5,33 = 14,67 ) jours

Chemin critique :

Le chemin critique est le chemin 1 (A → B → D → E) avec une durée totale de 17,5 jours.

Étape 3 : Calcul de la variance et de l’écart type

Pour mesurer les incertitudes dans les estimations, PERT calcule la variance et l’écart type pour chaque activité.

Formules :

Variance :

Écart type :

Calcul de la variance et de l’écart type pour chaque activité :

A:
  variance: ((6 - 2) / 6) ** 2  # Résultat: 0,444
  ecart_type: (6 - 2) / 6  # Résultat: 0,667 jours

B:
  variance: ((7 - 3) / 6) ** 2  # Résultat: 0,444
  ecart_type: (7 - 3) / 6  # Résultat: 0,667 jours

C:
  variance: ((4 - 1) / 6) ** 2  # Résultat: 0,25
  ecart_type: (4 - 1) / 6  # Résultat: 0,5 jours

D:
  variance: ((5 - 2) / 6) ** 2  # Résultat: 0,25
  ecart_type: (5 - 2) / 6  # Résultat: 0,5 jours

E:
  variance: ((9 - 4) / 6) ** 2  # Résultat: 0,694
  ecart_type: (9 - 4) / 6  # Résultat: 0,833 jours

Variance totale du projet (somme des variances sur le chemin critique) :

Variance totale = 1,832
Écart type total (racine carrée de la variance totale) :

Écart type total =1,35

Étape 4 : Estimation de la probabilité de terminer dans les temps

Si la durée estimée du projet est de 17,5 jours, et que l’on souhaite évaluer la probabilité de terminer le projet en 16 jours, on calcule la valeur Z.

Formule pour Z :

Où :

(D) est la durée cible (16 jours),
(TE) est la durée estimée (17,5 jours),
(sigma) est l’écart type total (1,35 jours).

Calcul de Z :

duree_cible: 16
duree_moyenne: 17.5
ecart_type_total: 1.35
z: (duree_cible - duree_moyenne) / ecart_type_total  # Résultat: -1.11

La valeur Z est de -1,11. En consultant une table de distribution normale, une valeur de Z de -1,11 correspond à une probabilité d’environ 13,39 % de terminer le projet en 16 jours ou moins.

Cet exemple montre comment appliquer la méthode PERT pour estimer la durée moyenne d’un projet, identifier le chemin critique, et évaluer les risques en calculant la probabilité de terminer un projet dans un certain délai.