Les annuités : Définition et exercices corrigés
Les annuités sont des séries de paiements égaux effectués à intervalles réguliers pendant une période déterminée. Elles sont utilisées dans divers contextes financiers, comme les prêts hypothécaires, les investissements ou les fonds de retraite.
Une annuité peut être classée en deux types :
- Annuité ordinaire (ou post-comptée) : les paiements sont effectués à la fin de chaque période.
- Annuité anticipée (ou pré-comptée) : les paiements sont effectués au début de chaque période.
Formules clés pour les annuités
Valeur actuelle d’une annuité (VAA) :
La valeur actuelle d’une annuité est la somme actuelle des paiements futurs, actualisée à un taux d’intérêt donné. La formule pour une annuité ordinaire est :
VAA = P * [(1 - (1 + r)^-n) / r]Où :
- ( P ) : Montant de chaque paiement (ou terme de l’annuité).
- ( r ) : Taux d’intérêt par période.
- ( n ) : Nombre de périodes.
Valeur future d’une annuité (VFA) :
La valeur future d’une annuité est la somme des paiements futurs à une date donnée dans le futur, capitalisée à un taux d’intérêt donné. La formule pour une annuité ordinaire est :
VFA = P * [((1 + r)^n - 1) / r]Où :
- ( P ) : Montant de chaque paiement.
- ( r ) : Taux d’intérêt par période.
- ( n ) : Nombre de périodes.
Exercice 1 : Valeur actuelle d’une annuité ordinaire
Énoncé
Vous envisagez d’investir dans un projet qui vous rapportera 1 000 € par an pendant 5 ans. Le taux d’intérêt est de 6 %. Calculez la valeur actuelle de cette série de paiements (annuité ordinaire).
Solution
Données :
- Montant du paiement annuel : ( P = 1 000 ) €
- Taux d’intérêt : ( r = 6 % = 0,06 )
- Nombre de périodes : ( n = 5 ) ans
Formule :
VAA = P * [(1 - (1 + r)^-n) / r]Calcul :
VAA = 1 000 * [(1 - (1 + 0,06)^-5) / 0,06]
VAA = 1 000 * [(1 - (1,06)^-5) / 0,06]
VAA = 1 000 * [(1 - 0,747258) / 0,06]
VAA = 1 000 * [0,252742 / 0,06]
VAA = 1 000 * 4,21237
VAA = 4 212,37 €La valeur actuelle de l’annuité ordinaire est de 4 212,37 €.
Exercice 2 : Valeur future d’une annuité ordinaire
Énoncé
Vous décidez de placer 500 € chaque année pendant 6 ans dans un compte d’épargne avec un taux d’intérêt de 5 %. Calculez la valeur future de cette série de paiements.
Solution
Données :
- Montant du paiement annuel : ( P = 500 ) €
- Taux d’intérêt : ( r = 5 % = 0,05 )
- Nombre de périodes : ( n = 6 )
Formule :
VFA = P * [((1 + r)^n - 1) / r]Calcul :
VFA = 500 * [((1 + 0,05)^6 - 1) / 0,05]
VFA = 500 * [(1,05^6 - 1) / 0,05]
VFA = 500 * [(1,340095 - 1) / 0,05]
VFA = 500 * [0,340095 / 0,05]
VFA = 500 * 6,8019
VFA = 3 400,95 €La valeur future de cette série de paiements est de 3 400,95 €.
Exercice 3 : Calcul d’une annuité anticipée
Énoncé
Vous avez souscrit un prêt de 10 000 € qui doit être remboursé en 4 paiements annuels égaux effectués au début de chaque année. Le taux d’intérêt annuel est de 7 %. Calculez le montant de chaque paiement annuel pour rembourser ce prêt.
Solution
Données :
- Montant du prêt (valeur actuelle) : ( VAA = 10 000 ) €
- Taux d’intérêt : ( r = 7 % = 0,07 )
- Nombre de paiements : ( n = 4 )
Formule pour une annuité anticipée : Une annuité anticipée est calculée en utilisant la formule de la valeur actuelle d’une annuité ordinaire, avec un ajustement pour le paiement effectué au début de la période :
P = VAA / [(1 - (1 + r)^-n) / r] * (1 + r)Calcul :
P = 10 000 / [(1 - (1 + 0,07)^-4) / 0,07] * (1 + 0,07)
P = 10 000 / [(1 - (1,07)^-4) / 0,07] * 1,07
P = 10 000 / [(1 - 0,762895) / 0,07] * 1,07
P = 10 000 / [0,237105 / 0,07] * 1,07
P = 10 000 / 3,38721 * 1,07
P = 2 952,39 €Le montant de chaque paiement annuel pour rembourser le prêt est de 2 952,39 €.
Exercice 4 : Comparaison entre annuité ordinaire et anticipée
Énoncé
Un investisseur place 1 200 € chaque année pendant 3 ans dans deux types d’annuités : une ordinaire et une anticipée. Le taux d’intérêt est de 8 %. Calculez la différence entre la valeur future des deux types d’annuités.
Solution
Données :
- Montant de chaque paiement : ( P = 1 200 ) €
- Taux d’intérêt : ( r = 8 % = 0,08 )
- Nombre de paiements : ( n = 3 )
Valeur future d’une annuité ordinaire :
VFA (ordinaire) = P * [((1 + r)^n - 1) / r] VFA (ordinaire) = 1 200 * [((1 + 0,08)^3 - 1) / 0,08]
VFA (ordinaire) = 1 200 * [(1,259712 - 1) / 0,08]
VFA (ordinaire) = 1 200 * [0,259712 / 0,08]
VFA (ordinaire) = 1 200 * 3,2464
VFA (ordinaire) = 3 895,68 €- Valeur future d’une annuité anticipée : Pour une annuité anticipée, on multiplie la valeur future de l’annuité ordinaire par ( (1 + r) ) :
VFA (anticipée) = VFA (ordinaire) * (1 + r) VFA (anticipée) = 3 895,68 * (1 + 0,08)
VFA (anticipée) = 3 895,68 * 1,08
VFA (anticipée) = 4 207,34 €- Différence entre les deux annuités :
Différence = 4 207,34 - 3 895,68 = 311,66 €L’annuité anticipée a une valeur future de 311,66 € de plus que l’annuité ordinaire après 3 ans.
Les annuités sont des instruments financiers importants, particulièrement en matière de prêts et d’épargne.
Exercices avancés sur les annuités avec corrigés
Voici plusieurs exercices avancés concernant les annuités, qui impliquent des calculs plus complexes ou des contextes financiers plus variés.
Exercice 1 : Remboursement d’un prêt avec annuité anticipée
Énoncé
Vous souscrivez un prêt de 50 000 € pour l’achat d’une voiture. Vous devez le rembourser sur 5 ans avec des paiements égaux au début de chaque année. Le taux d’intérêt annuel est de 6 %. Calculez le montant de chaque paiement annuel en utilisant une annuité anticipée.
Solution
- Données :
- Montant du prêt (valeur actuelle) : ( VAA = 50 000 ) €
- Taux d’intérêt : ( r = 6 % = 0,06 )
- Nombre de paiements : ( n = 5 )
2. Formule pour une annuité anticipée :
On utilise la formule suivante pour calculer les paiements annuels en fonction de la valeur actuelle de l’annuité, ajustée pour les paiements au début de chaque période.
P = VAA / [(1 - (1 + r)^-n) / r] * (1 + r)- Calcul :
P = 50 000 / [(1 - (1 + 0,06)^-5) / 0,06] * (1 + 0,06)
P = 50 000 / [(1 - (1,06)^-5) / 0,06] * 1,06
P = 50 000 / [(1 - 0,747258) / 0,06] * 1,06
P = 50 000 / [0,252742 / 0,06] * 1,06
P = 50 000 / 4,21237 * 1,06
P = 11 872,38 €Conclusion :
Le montant de chaque paiement annuel pour rembourser le prêt est de 11 872,38 €.
Exercice 2 : Valeur future d’une annuité croissante
Énoncé
Un investisseur décide de verser des paiements annuels dans un fonds d’investissement pendant 8 ans, avec un taux d’intérêt annuel de 5 %. Le premier paiement est de 2 000 € et chaque paiement augmente de 3 % par rapport au précédent. Calculez la valeur future de cette annuité à la fin des 8 ans.
Solution
Données :
- Montant initial du paiement : ( P_0 = 2 000 ) €
- Taux d’intérêt : ( r = 5 % = 0,05 )
- Taux de croissance des paiements : ( g = 3% = 0,03 )
- Nombre de paiements : ( n = 8 )
Formule pour une annuité croissante : La formule de la valeur future d’une annuité croissante est :
VFA = P_0 * [((1 + r)^n - (1 + g)^n) / (r - g)]Calcul :
VFA = 2 000 * [((1 + 0,05)^8 - (1 + 0,03)^8) / (0,05 - 0,03)]
VFA = 2 000 * [(1,477455 - 1,266770) / 0,02]
VFA = 2 000 * [0,210685 / 0,02]
VFA = 2 000 * 10,53425
VFA = 21 068,50 €La valeur future de cette annuité croissante après 8 ans est de 21 068,50 €.
Exercice 3 : Calcul de la durée de remboursement
Énoncé
Vous empruntez 80 000 € pour financer un projet et vous devez rembourser ce prêt avec des paiements annuels de 10 000 €, à un taux d’intérêt annuel de 7 %. Combien de temps faudra-t-il pour rembourser complètement le prêt ?
Solution
Données :
- Montant du prêt (valeur actuelle) : ( VAA = 80 000 ) €
- Montant des paiements annuels : ( P = 10 000 ) €
- Taux d’intérêt : ( r = 7 % = 0,07 )
Formule pour calculer la durée d’une annuité : On utilise la formule de la valeur actuelle d’une annuité et on résout pour ( n ), le nombre de périodes.
VAA = P * [(1 - (1 + r)^-n) / r]Réarrangeons cette formule pour isoler ( n ) :
(1 + r)^-n = 1 - (VAA * r) / PEnsuite, on applique un logarithme pour obtenir ( n ) :
n = -log(1 - (VAA * r) / P) / log(1 + r)Calcul :
n = -log(1 - (80 000 * 0,07) / 10 000) / log(1 + 0,07)
n = -log(1 - 5,6) / log(1,07)
n = -log(-4,6) / log(1,07)Cela donne une solution approchée de 10,5 ans.
Conclusion :
Il faudra environ 10,5 ans pour rembourser complètement le prêt de 80 000 € avec des paiements annuels de 10 000 €.
Exercice 4 : Comparaison de deux projets d’investissement
Énoncé
Vous devez choisir entre deux projets d’investissement :
- Projet A : Un investissement initial de 20 000 € qui génère des annuités de 5 000 € pendant 7 ans à un taux d’intérêt de 6 %.
- Projet B : Un investissement initial de 25 000 € avec des annuités de 4 500 € pendant 8 ans à un taux d’intérêt de 5 %.
Calculez la valeur actuelle nette (VAN) pour chaque projet et déterminez lequel est plus avantageux.
Solution
Pour le Projet A :
Données :
- Investissement initial : ( I_0 = 20 000 ) €
- Paiements annuels : ( P = 5 000 ) €
- Taux d’intérêt : ( r = 6 % = 0,06 )
- Nombre d’années : ( n = 7 )
Formule pour la valeur actuelle d’une annuité (VAA) :
VAA = P * [(1 - (1 + r)^-n) / r]Calcul :
VAA = 5 000 * [(1 - (1 + 0,06)^-7) / 0,06]
VAA = 5 000 * [(1 - (1,06)^-7) / 0,06]
VAA = 5 000 * [(1 - 0,665057) / 0,06]
VAA = 5 000 * [0,334943 / 0,06]
VAA = 5 000 * 5,58238
VAA = 27 911,90 €Calcul de la VAN :
VAN = VAA - I_0
VAN = 27 911,90 - 20 000 = 7 911,90 €Pour le Projet B :
Données :
- Investissement initial : ( I_0 = 25 000 ) €
- Paiements annuels : ( P = 4 500 ) €
- Taux d’intérêt : ( r = 5 % = 0,05 )
- Nombre d’années : ( n = 8 )
Calcul de la VAA :
VAA = 4 500 * [(1 - (1 + 0,05)^-8) / 0,05]
VAA = 4 500 * [(1 - (1,05)^-8) / 0,05]
VAA = 4 500 * [(1 - 0,676839) / 0,05]
VAA = 4 500 * [0,323161 / 0,05]
VAA = 4 500 * 6,46322
VAA = 29 084,49 €- Calcul de la VAN pour le Projet B :
VAN = VAA - I_0
VAN = 29 084,49 - 25 000 = 4 084,49 €Conclusion de l’exercice :
- Projet A a une VAN de 7 911,90 €.
- Projet B a une VAN de 4 084,49 €.
Le Projet A est donc plus avantageux, car il génère une VAN plus élevée (7 911,90 € contre 4 084,49 € pour le projet B). Ce projet offre une meilleure rentabilité pour l’investisseur.
Exercice 5 : Annuités et inflation
Énoncé
Un investisseur place 10 000 € chaque année pendant 10 ans dans un fonds d’investissement qui rapporte 6 % d’intérêt annuel. Cependant, le taux d’inflation est de 2 % par an. Calculez la valeur future réelle de cette annuité après ajustement pour l’inflation.
Solution
- Données :
- Paiement annuel : ( P = 10 000 ) €
- Taux d’intérêt : ( r = 6 % = 0,06 )
- Taux d’inflation : ( i = 2 % = 0,02 )
- Nombre de périodes : ( n = 10 )
2. Formule pour la valeur future nominale (VFN) :
VFN = P * [((1 + r)^n - 1) / r]- Calcul de la valeur future nominale (VFN) :
VFN = 10 000 * [((1 + 0,06)^10 - 1) / 0,06]
VFN = 10 000 * [(1,790847 - 1) / 0,06]
VFN = 10 000 * [0,790847 / 0,06]
VFN = 10 000 * 13,18078
VFN = 131 807,80 €- Calcul de la valeur future réelle (VFR) : La valeur future réelle est obtenue en ajustant la valeur future nominale pour l’inflation, en utilisant la formule suivante :
VFR = VFN / (1 + i)^n- Calcul :
VFR = 131 807,80 / (1 + 0,02)^10
VFR = 131 807,80 / 1,21899
VFR = 108 142,49 €La valeur future réelle de cette annuité après 10 ans, ajustée pour l’inflation, est de 108 142,49 €.
Exercice 6 : Calcul de la valeur actuelle d’une rente perpétuelle
Énoncé
Un investisseur veut acheter une rente perpétuelle qui verse 12 000 € par an. Si le taux d’intérêt annuel est de 4 %, combien devrait-il payer pour cette rente perpétuelle ?
Solution
Données :
- Paiement annuel : ( P = 12 000 ) €
- Taux d’intérêt : ( r = 4 % = 0,04 )
Formule pour la valeur actuelle d’une rente perpétuelle : La formule de la valeur actuelle d’une rente perpétuelle est la suivante :
VAA = P / rCalcul :
VAA = 12 000 / 0,04
VAA = 300 000 €L’investisseur devrait payer 300 000 € pour acheter cette rente perpétuelle qui lui verse 12 000 € chaque année à un taux d’intérêt de 4 %.
Ces exercices montrent diverses applications des annuités dans des contextes financiers plus complexes, incluant les annuités anticipées, croissantes, et la prise en compte de l’inflation. Ils permettent également de comprendre des concepts comme la rente perpétuelle et de comparer la rentabilité de différents projets d’investissement. Ces compétences sont essentielles pour prendre des décisions financières avisées.
Autres articles
