Exercice : Conversion entre les systèmes binaires, décimaux et hexadécimaux

La conversion entre les systèmes numériques est une compétence fondamentale en informatique et en électronique. Comprendre comment passer d’un système à un autre est essentiel pour de nombreux aspects de la programmation et de la conception matérielle. Dans cet article, nous explorerons en détail les méthodes de conversion entre les systèmes binaires, décimaux et hexadécimaux.

Introduction aux systèmes numériques

Avant de plonger dans les conversions, il est important de comprendre les bases des systèmes numériques que nous allons manipuler.

• Système binaire (base 2) : Utilise deux symboles, 0 et 1, pour représenter les nombres. Chaque position dans un nombre binaire représente une puissance de 2.
• Système décimal (base 10) : Le système que nous utilisons au quotidien. Il utilise dix symboles (0-9) pour représenter les nombres. Chaque position dans un nombre décimal représente une puissance de 10.
• Système hexadécimal (base 16) : Utilise seize symboles (0-9 et A-F) pour représenter les nombres. Chaque position dans un nombre hexadécimal représente une puissance de 16.

Conversion binaire vers décimal

Pour convertir un nombre binaire en décimal, nous utilisons la méthode suivante :

1. Commencez par le chiffre le plus à droite du nombre binaire.
2. Multipliez ce chiffre par 2^0, le chiffre suivant par 2^1, et ainsi de suite.
3. Additionnez les résultats pour obtenir le nombre décimal équivalent.

Exemple de conversion binaire en décimal :

Considérons le nombre binaire 101011.

1 * 2^5 + 0 * 2^4 + 1 * 2^3 + 0 * 2^2 + 1 * 2^1 + 1 * 2^0 = 32 + 0 + 8 + 0 + 2 + 1 = 43

Ainsi, 101011 en binaire est égal à 43 en décimal.

Conversion décimal vers binaire

La conversion de décimal en binaire implique de diviser le nombre décimal par 2 à plusieurs reprises et de garder une trace des restes.

Exemple de conversion décimal en binaire :

Considérons le nombre décimal 43.

43 / 2 = 21 reste 1
21 / 2 = 10 reste 1
10 / 2 = 5 reste 0
5 / 2 = 2 reste 1
2 / 2 = 1 reste 0
1 / 2 = 0 reste 1

En lisant les restes de bas en haut, nous obtenons 101011, qui est le nombre binaire correspondant à 43 en décimal.

Conversion hexadécimal vers binaire (et vice versa)

La conversion entre les nombres hexadécimaux et binaires est assez simple car 4 chiffres binaires peuvent être représentés par un seul chiffre hexadécimal et vice versa. Par exemple, le nombre binaire 1101 peut être représenté par D en hexadécimal.

Voici cinq exercices corrigés pour pratiquer la conversion entre les systèmes binaires, décimaux et hexadécimaux :

Exercice 1 : Conversion binaire vers décimal

Convertir le nombre binaire 1101 en décimal.

Correction :

1 * 2^3 + 1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0 = 8 + 4 + 0 + 1 = 13

Le nombre binaire 1101 est équivalent à 13 en décimal.

Exercice 2 : Conversion décimal vers binaire

Convertir le nombre décimal 27 en binaire.

Correction :

27 / 2 = 13 reste 1
13 / 2 = 6 reste 1
6 / 2 = 3 reste 0
3 / 2 = 1 reste 1
1 / 2 = 0 reste 1

En lisant les restes de bas en haut, nous obtenons 11011, qui est le nombre binaire correspondant à 27 en décimal.

Exercice 3 : Conversion hexadécimal vers décimal

Convertir le nombre hexadécimal 2A en décimal.

Correction :

2A en hexadécimal équivaut à (2 * 16^1) + (A * 16^0). Sachant que A en hexadécimal équivaut à 10 en décimal, nous avons :

(2 * 16^1) + (10 * 16^0) = (2 * 16) + 10 = 32 + 10 = 42

Le nombre hexadécimal 2A est équivalent à 42 en décimal.

Exercice 4 : Conversion décimal vers hexadécimal

Convertir le nombre décimal 87 en hexadécimal.

Correction :

87 / 16 = 5 reste 7
5 / 16 = 0 reste 5

En lisant les restes de bas en haut, nous obtenons 57, qui est le nombre hexadécimal correspondant à 87 en décimal.

Exercice 5 : Conversion binaire vers hexadécimal

Convertir le nombre binaire 101101 en hexadécimal.

Correction :

Regroupons les bits par groupes de quatre (en partant de la droite) pour la conversion en hexadécimal :

0101 1010

En convertissant chaque groupe en hexadécimal, nous obtenons 5A. Donc, 101101 en binaire est équivalent à 5A en hexadécimal.

Ces exercices devraient vous aider à renforcer vos compétences en conversion entre les systèmes numériques.

Synthèse 😉

La capacité de convertir entre les systèmes numériques est une compétence précieuse pour les informaticiens, les ingénieurs électroniques et les programmeurs. Comprendre les méthodes de conversion entre les systèmes binaires, décimaux et hexadécimaux ouvre un monde de possibilités dans la compréhension et la manipulation des données. En pratiquant régulièrement ces conversions, vous renforcerez votre compréhension des bases de l’informatique et de l’électronique.