Statistique: LES APPLICATIONS DES SERIES CHRONOLOGIQUES
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1.PRESETATION DES OBJECTIFS
L’analyse des Séries Chronologiques constitue un aspect fondamental dans l’étude des variables liées au temps. Parmi ses principaux objectifs figurent la détermination des composantes de la série ct essentiellement la «tendance» qui renferme la trajectoire normale de la variable d’intérêt. La détermination de la stabilité des valeurs (ou leur variation) au cours du temps est un autre objectif qui demeure inévitable.
C’est dans ce sens que les séries chronologiques représentent une analyse dite dynamique qui vient compléter l’analyse statique comme cela est présenté dans les chapitres précédents.
En effet, les séries chronologiques rendent les variables étudiées de plus en plus explicites en développant leur évolution en plusieurs composantes qui constituent les effets de leur variation. Ce qui permet, par conséquent, de faciliter leur utilisation dans la pratique de l’économique notamment dans le cadre de la prévision et la prise de décision.
Pour ce faire, nous allons présenter une analyse approfondie des séries chronologiques en mettant l’accent sur toutes les questions qui paraissent cruciales dans leur analyse.
Les objectifs visés seront axés sur :
1. D’abord, la présentation des séries chronologiques afin d’en préciser certaines de leurs particularités telles que la nature, la période (ou périodicité) et l’allure (ou l’évolution temporelle) des séries analysées. Dans ce cas la présentation graphique est très importante à ce niveau.
2. Ensuite, la décomposition des séries chronologiques pour appréhender leurs différentes composantes notamment le trend, les variations cycliques, les variations saisonnières, l’effet accidentels ou de perturbations. Ce qui permettra, en conséquence de comprendre les influences de ces dernières sur la série d’origine Nous présenterons dans ce cadre les principaux modèles décomposition notamment ceux fréquemment utilisés tels modèles additif et multiplicatif.
2. Ensuite, la décomposition des séries chronologiques pour appréhender leurs différentes composantes notamment le trend, les variations cycliques, les variations saisonnières, l’effet accidentels ou de perturbations. Ce qui permettra, en conséquence de comprendre les influences de ces dernières sur la série d’origine Nous présenterons dans ce cadre les principaux modèles décomposition notamment ceux fréquemment utilisés tels modèles additif et multiplicatif.
3. Puis, les modèles d’ajustement et de lissage qui sont nécessaires pour nettoyer les séries brutes des effets non désirables Plusieurs méthodes seront présentées comme les méthodes de moyennes mobiles simples, moyennes mobiles centrées et a méthode exponentielle.
4. Enfin, nous mettrons l’accent sur les méthodes de mesure des composantes d’une série brute afin d’estimer leurs poids en procéder à la prévision des valeurs futures de la dite série ainsi que l’utilisation des prévisions.
2.EXERCICES
Le nombre des ventes trimestrielles réalisées par l’entreprise ATLAS pendant la période 2003-05 est récapitulée dans le tableau suivant :
TAF:
1. Représenter graphiquement cette série chronologique.
2. Que peut-on déduire.
3. Désaisonnaliser la série en utilisant une MM(3), MM(4) et MM(5).
4. Représenter graphiquement les trois sur le même graphe que la série. Votre conclusion.
5. Désaisonnaliser la série en utilisant un modèle linéaire. Que pensez-vous?
Exercice n°2 – Statistique descriptive
Un commerçant de télés a enregistré les ventes trimestrielles des LCD comme suit:
TAF:
1. Représenter graphiquement cette série chronologique.
2. Que peut-on déduire.
3. Désaisonnaliser la série en utilisant la méthode exponentielle d’ordre α=0,1 et α=0,7.
4. Représenter graphiquement les trois séries sur le même graphe. Votre conclusion.
Exercice numéro 3
Le cours journalier d’une action pour une entreprise est présenté comme suit
TAF:
1.Que peut-on conclure quant à son évolution?
2. Utiliser un lissage exponentiel de cette série poura=0,46?
3. Estimer la somme des carrés des résidus?
Montrer que la valeur de la variable résiduelle est minimum dans ce cas.
Exercice n°4:
L’évolution de chiffre d’affaires réalisée ces dernières années pour une entreprise est récapitulée dans le tableau suivant:
TAF:
1. Représenter graphiquement cette série. Qu’en pensez-vous?
2. Utiliser un lissage qui vous parait convenable.
3. Estimer les composantes de tendance, de variations cycliques et de variations saisonnières si elles existent.
4. Donner le CA prévisionnel du 4° trimestre de l’année 2011.
Exercice n°5:
Le tableau suivant présente les consommations mensuelles d’un produit alimentaire dans une population donnée:
TAF:
1.Représer graphiquement cette series.
2. Que pensez-vous du modèle de décomposition?
3. Utiliser un lissage par MM3(t) et par exponentiel pour α=0,1.
4. Représenter les deux séries lissées sur le même graphe. Que peut-on déduire?
5. Estimer les composantes de tendance, de variations cycliques et de variations saisonnières si elles existent.
6.Donner le CA prévisionnel du 6° mois de l’année 2011.
SOLUTIONS des exercices statistiques descriptives – SERIES CHRONOLOGIQUES
2.On peut en déduire effectivement certaines caractéristiques qui sont essentielles pour l’évolution de la série brute. On constate ainsi que:
La série des ventes observées est touchée par un effet d’évolution tantôt à la hausse tantôt à la baisse.
Dans cette évolution la série marque une hausse nette malgré les hauts et les bas. C’est ce qu’on appelle la tendance ou le trend qui peut être représenté par une courbe ou une ligne croissante dans ce cas.
La série brute est infectée aussi par des variations saisonnières puisque ce sont les évolutions qui se répètent pratiquement de la même façon mais sur des courtes périodes (les années prises séparément).
On peut même détecter des variations accidentelles qui font que les variations négatives soient atténuées dans leur rythme entre les années .En effet, on peut imaginer une sorte de faits accidentels qui vont diminuer l’effet négatif des ventes comme par exemple une diminution des prix des produits, une augmentation du pouvoir d’achat, un afflux de demande, ete.
·Le modèle de décomposition parait visiblement de nature additif vu que les extremums (les piques sur le graphe) positifs et négatifs gardent la même amplitude.
3. La dessaisonalisation de la série brute en utilisant la méthode des Moyennes Mobiles doit se faire en appliquant deux équations différentes selon le degré k, en effet on a:
.Si k est impaire tel que k=2m+1:
3
MM1(1)=1=-mk
y1m+y,-m-1 +…+y,m
k
-Pour k=3(m=1) on aura:
MM3(2)= y,1+y,+y,1
3
-Pour k=5(m=2)on aura:
MM3(1)==-5 y,-2+y1-1+y1+y1+1+y1+2 5
·Si k est paire tel que k=2m, on utilise alors la Moyenne Mobile Centrée. D’où l’équation:
0,5.(y1-m)+Σy1+i+0,5.(y1-m)
m
i=-m+1
=(1)WW
k
0.5(ym)+y1-ml+y1-m+y1-m-1 +0.5(ym) k
-Pour k=4(m=2) on aura:
On peut constater que vu la façon de calculer les MM simples ou centrées, les valeurs extrêmes de Yt disparaissent automatiquement.
Pour un ordre k impaire des MM on perd, en effet, (k-1) valeurs réparties sur les deux côtés. Ce qui fait que la première (MM3(1)) et la dernière observations (MMз(12)) pour k=3 ainsi que les deux premières (MMs(1) et MM5(2)) et les deux dernières observations (MMs(11) et MMs(12)) pour k=5 disparaissent du tableau.
Alors que si l’ordre k est paire on perd m valeurs de chaque côté. Ce qui donne la disparition des 2=m premières (MM4(1) et MM4(2)) et des deux dernières observations (MM4(11) et MM4(12)) pour k=4
.
On peut vérifier aussi que :
– Pour k=3 (m=1) on aura par exemple:
AMAM,(3) 55+4-1093.33
.Pour k=5(m=2)on aura:
=(p)/V/V
5
.Pour k=4(m=2)on aura:
MM1(5)= 0.5.(v3)+y4+y5+y6+(v,)0.5 1199.93 4
D’où la représentation graphique des trois moyennes mobiles ayec la série brute:
après le graphe on peut effectivement constater que:
Les séries lissées par les MM, quelque soit l’ordre, permettent de corriger la série brute de ses effets indésirables notamment les effets saisonniers et les variations accidentelles qui perturbent l’évolution normale des ventes. En effet, on voit moins de fluctuations sur les trois courbes représentées par les MM.
Moment qu’elle permet d’avoir une courbe Application des séries chronologiques
Malheureusement, cette moyenne d’odre4 (au
=T=at+b.
Pour ce faire on présente le tableau et les résultats suivants:
T=1386,00 et t=6,5
‘ Ceci confirme en quelque sorte le principe qui stipule que l’ordre de la MM à utiliser dans le cas d’un lissage d’une série brute doit être égal à celui de la périodicité chronologique de la série. Dans notre cas, puisque l’ordre de la périodicité est égal à p=4 trimestres) on voit que c’est la MM4 qui donne le meilleur résultat de lissage.
Application des séries chronologiques
m=-(6)=440.62 cro,=-げ。
=3,45
123262-1386×6.5=1262,83
les ventes de cette entreprise augmente aussi.
6=T-ai=697,37=Ce qui représente le niveau constant de ventes
Indépendamment du temps.
L’équation du trend donnée par le modèle linéaire sera présentée ainsi:
y1=T=a.t+b
=105,94.t+697,37
Pour montrer l’efficacité du modèle linéaire dans le lissage de la série brute on peut constituer les prévisions à partir de la dernière équation.
Graphiquement, On peut également voir que cette équation de prévision réduit la série des ventes brutes pratiquement en une droite. Cette dernière doit être donc complétement nettoyée de toutes les variations indésirables.
Le graphe est donne par:
Ce résultat est d’autant plus intéressant que le coefficient de corrélation est trés élevé est égal à 80%. Ce qui explique, par conséquent, l’intéret des prévisions qui peuvent être établies sur la base de ce résultat.
Solution – Exercice n°2:
A l’instar de l’exercice précédent, la série chronologique dans cette application est composée par des ventes trimestrielles des télés LCD réalisées par un commerçant pendant la période allant de 2006 à 2009. Ce qui représente 16 observations.
1. La représentation graphique de la série chronologique brute est donnée par:
2.On constate ainsi que:
·La série des ventes observées des LCD est touchée par un effet d’évolution variant entre l’augmentation et la diminution.
·La présence de la tendance ou le trend est nette puisque la série a tendance à augmenter finalement.
L’existence des variations saisonnières représentées par des évolutions qui se répètent pratiquement de la même façon mais sur des courtes périodes (les 4 trimestres de chaque année prise séparément).
On peut aussi détecter des variations accidentelles qui font que les variations positives et négatives soient atténuées dans leur rythme. En effet, on peut voir sur le graphe que les piques positifs et négatifs ne se représentent pas dans la même cadence. Il existe ainsi des faits accidentels qui vont diminuer les hauts et les bas des Quant au modèle de décomposition il est variable et oscille entre le modèle additif et le modèle multiplicatif.
exponentielle d’ordre a=0,1 et a=0,7 doit se faire en applique l’équation suivante:
S,=α.y1+(1-a).S,-pourt≥2
En Valeurs des coefficients de lissage exponentiel on peut avolr résultats suivants:
Comme on peut le constater et contrairement au calcul des MM simples ou centrées, le taux de perte des valeurs observées dans le cas de la méthode exponentielle est nul puisqu’on travaille sur la totalité des données fournies.
On peut vérifier aussi par exemple pour α=0,1 que :
S1=y1=123 par définition.
S2=0,1.y2+(1-0,1).s1=0,1.(141)+(0,9).123=124,80
S8=0,1.y8+(1-0,1)S,=0,1.(123)+(0,9).193=138,14
4. Pour conclure quant aux résultats des modèles exponentiels on donne la représentation graphique de la série brute et les deux séries désaisonnalisées par le lissage exponentiel:
D’après le graphe on peut constater que le lissage fait par la méthode exponentielle sur la série brute est meilleur avec le coefficient α=0,1 qui permet d’éliminer tous les mouvements indésirables notamment les effets saisonniers et les variations accidentelles qui perturbent l’évolution normale des ventes.
Par contre, le lissage effectué avec le coefficient α=0,7 laisse apparaitre toujours une grande partie de ces effets perturbateurs. La série brute et la série LE α=0,7 paraissent évoluer de la même manière.
Solution – Exercice n°3:
La série chronologique dans cette application est composée par les cours journaliers d’une action pour une entreprise avec 16 observations représentant les 16 premiers jours du mois.
1.Pour connaitre l’évolution de cette série il faut passer par sa représentation graphique qui est donnée comme suit :
On peut conclure à partir du graphe que:
La série présente aussi bien des variations de tendance cycliques, saisonnières et même accidentelles qu’on peut facilement visualiser sur les piques présentés sur le graphe.
– Le modèle de décomposition sera composé d’abord d’un modéle additif notamment sur la premiere partie de la période d’observation, puis d’un modéle multiplicatif lorsqu’on considére toute la période.
2.Le lissage exponentiel de la série pour α=0,46 se fait en utilisant l’équation de la méthode exponentielle telle que :
S,=a.y1+(1-α).S,,pour t≥2
Les résultats sont donnés dans le tableau suivant :
Ils doivent faire les calcules dans ce cas en procédant comme suit:
ei=y1-S1-1
: représenté les résidus ou les erreurs.
la valeur réelle de l’observation.
Si: In série désaisonnalisée par le dans ce cas.
D’où les résultats suivants :
Ce qui donne finalement une variance résiduelle égale à:50085,2607
4. Pour montrer que cette variance est la plus faible (minimum) on peut la comparer aux résultats qu’on aura pour les autres valeurs différentes. Nous allons opter pour une analyse comparative des résidus obtenus sur la base d’une valeur supérieure a=0,47 et une valeur inférieure a=0,45.
Les résultats sont présentés dans le tableau ci-dessous:
On constate par conséquent que :
Si α=0,45, On aura la somme des résidus égale à 50094,47
Si α=0,46, On aura la somme des résidus égale à 50085,26
Si α=0,47, On aura la somme des résidus égale à 50090,62
Ce qui explique effectivement que la variance résiduelle est plus faible pour α=0,46 que pour les autres coefficients. On doit donc être sûr dans ce cas que le pour un coefficient α=0,46 sera le mieux pour désaisonnaliser la série brute. Du moins mieux que les LE utilisés pour les autres coefficients α=0,45 et a=0,47.
Solution- Exercice n°4:
La série chronologique dans cette application est représentée par les chiffres d’affaire réalisés pour les 7 dernières années de l’activité d’une entreprise. Ce sont des données trimestrielles avec 26 observations en total vu que les informations du premier trimestre de l’année 2003 et le dernier trimestre de l’année 2009 ne sont pas disponibles.
La figure ci-dessus montre la série brute avec énormément de variations qui sont certainement de tendance (Trend) mais aussi cycliques et saisonnières. Les variations accidentelles sont cette fois-ci pratiquement absentes. Il n’y a pas, en effet, de mouvements imprévus qui diminuent les effets normaux saisonniers
Le 2° résultat important aussi dans cette série c’est T’amplitude des extremums qui augmente avec le temps. Ce qui confirme la présence d’un modèle multiplicatif.
2.Le lissage qui peut être convenable dans ce cas est celui d’une moyenne mobile dont l’ordre doit être égal au degré de la périodicité représentée ici par p=4 trimestres tel que MM, avec k=p=4.
Les résultats du calcul ainsi que la représentation graphique sont donnés comme suit:
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