Méthode des Moindres Carrés pour la Prévision des Ventes
La méthode des moindres carrés est une technique statistique utilisée pour ajuster une droite (ou un modèle linéaire) aux données afin de minimiser les écarts entre les valeurs observées et les valeurs prévues. En prévision des ventes, cette méthode permet d’analyser des données historiques de vente pour estimer les tendances futures.
1. Principe de la Méthode des Moindres Carrés
La méthode des moindres carrés consiste à ajuster une droite (ou une fonction linéaire) aux points de données observés, en minimisant la somme des carrés des écarts entre les valeurs observées et celles prédites par le modèle.
La relation linéaire entre les périodes de temps ( X ) (par exemple, mois, années) et les ventes ( Y ) est modélisée par une équation de la forme :
Y = a + bXOù :
- ( Y ) est la valeur prédite (les ventes futures).
- ( a ) est l’ordonnée à l’origine (interception de la droite avec l’axe des ventes).
- ( b ) est la pente de la droite (le taux de variation des ventes par période).
- ( X ) représente le temps (période).
Formules de la méthode des moindres carrés :
Pour calculer les coefficients ( a ) et ( b ), on utilise les formules suivantes :
- Pente ( b ) :
b = (n * ΣXY - ΣX * ΣY) / (n * ΣX² - (ΣX)²)- Ordonnée à l’origine ( a ) :
a = (ΣY - b * ΣX) / nOù :
- ( n ) est le nombre de périodes.
- ( ΣX ) est la somme des périodes.
- ( ΣY ) est la somme des ventes observées.
- ( ΣXY ) est la somme des produits des périodes et des ventes.
- ( ΣX² ) est la somme des carrés des périodes.
2. Étapes pour Utiliser la Méthode des Moindres Carrés
- Collecter les données historiques de vente (période ( X ), ventes ( Y )).
- Calculer les valeurs nécessaires :
- ( ΣX ) : somme des périodes.
- ( ΣY ) : somme des ventes.
- ( ΣXY ) : somme des produits des périodes et des ventes.
- ( ΣX² ) : somme des carrés des périodes.
- Calculer les coefficients ( a ) et ( b ).
- Utiliser l’équation linéaire ( Y = a + bX ) pour prédire les ventes futures.
3. Exemple d’Application : Prévision des Ventes avec la Méthode des Moindres Carrés
Énoncé
Une entreprise a enregistré les ventes suivantes au cours des six derniers mois :
| Mois | Ventes (en €) |
|---|---|
| 1 | 5000 |
| 2 | 6000 |
| 3 | 7000 |
| 4 | 6500 |
| 5 | 7200 |
| 6 | 8000 |
Utilisez la méthode des moindres carrés pour prévoir les ventes du mois 7.
Solution
Étape 1 : Collecte des données
Les données historiques sont :
| Mois (X) | Ventes (Y) |
|---|---|
| 1 | 5 000 |
| 2 | 6 000 |
| 3 | 7 000 |
| 4 | 6 500 |
| 5 | 7 200 |
| 6 | 8 000 |
Étape 2 : Calcul des sommes nécessaires
- ( ΣX = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 )
- ( ΣY = 5000 + 6000 + 7000 + 6500 + 7200 + 8000 = 39 700 )
- ( ΣXY = 15000 + 26000 + 37000 + 46500 + 57200 + 68000 = 167 700 )
- ( ΣX² = 1² + 2² + 3² + 4² + 5² + 6² = 91 )
Étape 3 : Calcul des coefficients ( a ) et ( b )
- Calcul de la pente ( b ) :
b = (n * ΣXY - ΣX * ΣY) / (n * ΣX² - (ΣX)²)
b = (6 * 167 700 - 21 * 39 700) / (6 * 91 - 21²)
b = (1 006 200 - 833 700) / (546 - 441)
b = 172 500 / 105
b ≈ 1 642,86 €- Calcul de l’ordonnée à l’origine ( a ) :
a = (ΣY - b * ΣX) / n
a = (39 700 - 1 642,86 * 21) / 6
a = (39 700 - 34 500) / 6
a = 5 200 / 6
a ≈ 866,67 €Étape 4 : Prévision des ventes pour le Mois 7
L’équation de la droite obtenue est :
Y = 866,67 + 1 642,86 * XPour ( X = 7 ) (mois 7), on calcule :
Y_7 = 866,67 + 1 642,86 * 7
Y_7 = 866,67 + 11 500,02
Y_7 ≈ 12 366,69 €La prévision des ventes pour le mois 7 est d’environ 12 366,69 €.
Exercice Avancé : Prévision des Ventes avec Régression Linéaire
Énoncé
Une entreprise veut prévoir ses ventes pour le mois suivant en utilisant les données de vente des 5 derniers mois. Voici les données :
| Mois | Ventes (en €) |
|---|---|
| 1 | 10 000 |
| 2 | 12 000 |
| 3 | 11 500 |
| 4 | 13 000 |
| 5 | 14 500 |
Utilisez la méthode des moindres carrés pour prévoir les ventes du mois 6.
Solution
Étape 1 : Collecte des données
| Mois (X) | Ventes (Y) |
|---|---|
| 1 | 10 000 |
| 2 | 12 000 |
| 3 | 11 500 |
| 4 | 13 000 |
| 5 | 14 500 |
Étape 2 : Calcul des sommes nécessaires
ΣX = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
ΣY = 10 000 + 12 000 + 11 500 + 13 000 + 14 500 = 61 000
ΣXY = (1 * 10 000) + (2 * 12 000) + (3 * 11 500) + (4 * 13 000) + (5 * 14 500) = 223 500
ΣX² = 1² + 2² + 3² + 4² + 5² = 55Étape 3 : Calcul des coefficients (a) et (b)
Calcul de la pente (b) :
b = (n * ΣXY - ΣX * ΣY) / (n * ΣX² - (ΣX)²)
b = (5 * 223 500 - 15 * 61 000) / (5 * 55 - 15²)
b = (1 117 500 - 915 000) / (275 - 225)
b = 202 500 / 50
b = 4 050 €Calcul de l’ordonnée à l’origine (a) :
a = (ΣY - b * ΣX) / n
a = (61 000 - 4 050 * 15) / 5
a = (61 000 - 60 750) / 5
a = 250 / 5
a = 50 €Étape 4 : Prévision des ventes pour le mois 6
La formule de la droite de régression est :
Y = a + b * XPour prévoir les ventes du mois 6, nous remplaçons (X = 6), (a = 50), et (b = 4 050) dans la formule.
Ventes_mois_6 = a + b * 6
Ventes_mois_6 = 50 + 4 050 * 6
Ventes_mois_6 = 50 + 24 300
Ventes_mois_6 = 24 350 €Les ventes prévues pour le mois 6 sont de 24 350 €.
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