Les conversions octales : Passer entre l’octal, le binaire, le décimal, et l’hexadécimal.

Le système octal est un système de numération en base 8, qui utilise les chiffres 0 à 7. En informatique, il est souvent utilisé pour représenter les données binaires de manière plus concise, car chaque chiffre octal correspond à un groupe de 3 bits en binaire. Bien que l’octal soit moins utilisé aujourd’hui que le système hexadécimal, il est encore présent dans certains systèmes comme Unix pour représenter les permissions de fichiers.

Dans ce guide, nous allons explorer les conversions octales en détail, avec des exemples pratiques pour comprendre comment passer entre l’octal, le binaire, le décimal, et l’hexadécimal.

1. Conversion du binaire vers l’octal

La conversion entre le binaire et l’octal est directe, car chaque chiffre octal correspond à 3 bits en binaire. Pour convertir un nombre binaire en octal, on divise le nombre binaire en groupes de 3 bits en partant de la droite.

Étapes :

1. Divisez le nombre binaire en groupes de 3 bits en partant de la droite. Si le dernier groupe n’a pas 3 bits, ajoutez des zéros à gauche pour le compléter.
2. Convertissez chaque groupe de 3 bits en son équivalent octal.

Exemple 1 : Convertir le binaire 101110 en octal

Divisons le nombre en groupes de 3 bits :

   101 110

Convertissons chaque groupe en octal :

• 101 = 5 en octal
• 110 = 6 en octal

Ainsi, 101110 en binaire devient 56 en octal.

Exemple 2 : Convertir le binaire 11010101 en octal

1. Divisons en groupes de 3 bits (ajoutons des zéros à gauche pour compléter le dernier groupe) :

   011 010 101

2. Convertissons chaque groupe en octal :

• 011 = 3 en octal
• 010 = 2 en octal
• 101 = 5 en octal

Ainsi, 11010101 en binaire devient 325 en octal.

2. Conversion de l’octal vers le binaire

La conversion de l’octal vers le binaire est également simple. Chaque chiffre octal est directement converti en un groupe de 3 bits.

Étapes :

1. Prenez chaque chiffre octal et convertissez-le en son équivalent en 3 bits binaires.
2. Reconstituez le nombre binaire en regroupant les résultats.

Exemple 1 : Convertir l’octal 72 en binaire

Prenons chaque chiffre octal :

• 7 en octal = 111 en binaire
• 2 en octal = 010 en binaire

Reconstituons le nombre binaire :

   111 010

Ainsi, 72 en octal devient 111010 en binaire.

Exemple 2 : Convertir l’octal 143 en binaire

Convertissons chaque chiffre octal en binaire :

• 1 = 001
• 4 = 100
• 3 = 011

Reconstituons le nombre binaire :

   001 100 011

Ainsi, 143 en octal devient 001100011 en binaire (ou simplement 1100011).

3. Conversion de l’octal vers le décimal

La conversion de l’octal vers le décimal implique de décomposer le nombre octal en puissances de 8. Chaque chiffre octal est multiplié par 8 élevé à la puissance de sa position (en partant de 0 pour le chiffre le plus à droite).

Étapes :

1. Écrivez le nombre octal sous forme de somme de puissances de 8.
2. Multipliez chaque chiffre octal par 8ⁿ, où n est sa position en partant de 0 (à droite).
3. Additionnez les résultats pour obtenir le nombre décimal.

Exemple 1 : Convertir l’octal 157 en décimal

1. Décomposez le nombre en puissances de 8 :

   157 en octal = (1 × 8²) + (5 × 8¹) + (7 × 8⁰)

2. Effectuez les calculs :

   = (1 × 64) + (5 × 8) + (7 × 1)
   = 64 + 40 + 7
   = 111

Ainsi, 157 en octal est égal à 111 en décimal.

Exemple 2 : Convertir l’octal 745 en décimal

1. Décomposez en puissances de 8 :

   745 en octal = (7 × 8²) + (4 × 8¹) + (5 × 8⁰)

2. Effectuez les calculs :

   = (7 × 64) + (4 × 8) + (5 × 1)
   = 448 + 32 + 5
   = 485

Ainsi, 745 en octal est égal à 485 en décimal.

4. Conversion du décimal vers l’octal

Pour convertir un nombre décimal en octal, on utilise la méthode de la division par 8. On divise le nombre par 8 de manière répétée et on note les restes. Ensuite, on lit les restes de bas en haut pour obtenir le nombre octal.

Étapes :

1. Divisez le nombre décimal par 8.
2. Notez le reste.
3. Continuez à diviser le quotient par 8 jusqu’à ce que le quotient soit 0.
4. Lisez les restes de bas en haut pour obtenir le nombre octal.

Exemple 1 : Convertir le décimal 56 en octal

1. Divisons 56 par 8 :

   56 ÷ 8 = 7, reste 0
   7 ÷ 8 = 0, reste 7

2. En lisant les restes de bas en haut, on obtient 70.

Ainsi, 56 en décimal est égal à 70 en octal.

Exemple 2 : Convertir le décimal 255 en octal

1. Divisons 255 par 8 :

   255 ÷ 8 = 31, reste 7
   31 ÷ 8 = 3, reste 7
   3 ÷ 8 = 0, reste 3

2. En lisant les restes de bas en haut, on obtient 377.

Ainsi, 255 en décimal est égal à 377 en octal.

5. Conversion de l’octal vers l’hexadécimal

La conversion entre l’octal et l’hexadécimal se fait généralement en passant par le binaire. Voici comment procéder.

Étapes :

1. Convertir l’octal en binaire : Chaque chiffre octal est converti en 3 bits binaires.
2. Convertir le binaire en hexadécimal : Divisez le binaire en groupes de 4 bits et convertissez chaque groupe en hexadécimal.

Exemple 1 : Convertir l’octal 345 en hexadécimal

Convertissons chaque chiffre octal en binaire :

• 3 = 011
• 4 = 100
• 5 = 101 Nous obtenons : 011 100 101

Convertissons en hexadécimal : Divisons en groupes de 4 bits (ajoutons un 0 à gauche si nécessaire) :

   0011 1001 01 → 0011 1001 0101

Ensuite, convertissons chaque groupe de 4 bits :

• 0011 = 3
• 1001 = 9
• 0101 = 5

Ainsi, 345 en octal est égal à 395 en hexadécimal.

Exemple 2 : Convertir l’octal 712 en hexadécimal

Convertissons chaque chiffre octal en binaire :

• 7 = 111
• 1 = 001
• 2 = 010 Nous obtenons : 111 001 010

Convertissons en hexadécimal : Divisons en groupes de 4 bits :

   1110 0101 0 → 0111 0010 0100

Convertissons chaque groupe :

• 0111 = 7
• 0010 = 2
• 0100 = 4

Exercices corrigés sur les conversions octales

Voici plusieurs exercices corrigés qui vous permettront de mieux comprendre et maîtriser les conversions entre le système octal, binaire, décimal, et hexadécimal.

Exercice 1 : Conversion du binaire vers l’octal

Convertir le nombre binaire 11010111 en octal.

Solution :

1. Divisons le nombre en groupes de 3 bits en partant de la droite :

   110 101 111

2. Convertissons chaque groupe de 3 bits en octal :

• 110 = 6
• 101 = 5
• 111 = 7

Ainsi, 11010111 en binaire devient 657 en octal.

Réponse : 657 en octal

Exercice 2 : Conversion de l’octal vers le binaire

Convertir le nombre octal 234 en binaire.

Solution :

Convertissons chaque chiffre octal en binaire (en utilisant 3 bits) :

• 2 = 010
• 3 = 011
• 4 = 100

Reconstituons le nombre binaire :

   010 011 100

Ainsi, 234 en octal devient 010011100 en binaire (ou 10011100 si on omet les zéros à gauche).

Réponse : 10011100 en binaire

Exercice 3 : Conversion de l’octal vers le décimal

Convertir le nombre octal 523 en décimal.

Solution :

1. Décomposons le nombre en puissances de 8 :

   523 en octal = (5 × 8²) + (2 × 8¹) + (3 × 8⁰)

2. Effectuons les calculs :

   = (5 × 64) + (2 × 8) + (3 × 1)
   = 320 + 16 + 3
   = 339

Ainsi, 523 en octal est égal à 339 en décimal.

Réponse : 339 en décimal

Exercice 4 : Conversion du décimal vers l’octal

Convertir le nombre décimal 165 en octal.

Solution :

1. Divisons le nombre par 8 de manière répétée :

   165 ÷ 8 = 20, reste 5
   20 ÷ 8 = 2, reste 4
   2 ÷ 8 = 0, reste 2

2. En lisant les restes de bas en haut, on obtient 245.

Ainsi, 165 en décimal est égal à 245 en octal.

Réponse : 245 en octal

Exercice 5 : Conversion de l’octal vers l’hexadécimal

Convertir le nombre octal 742 en hexadécimal.

Solution :

Convertissons d’abord l’octal en binaire :

• 7 = 111
• 4 = 100
• 2 = 010 Cela donne le nombre binaire 111100010.

Convertissons ensuite le binaire en hexadécimal en divisant par groupes de 4 bits (en ajoutant des zéros à gauche si nécessaire) :

   0001 1110 0010

Convertissons chaque groupe de 4 bits en hexadécimal :

• 0001 = 1
• 1110 = E
• 0010 = 2

Ainsi, 742 en octal devient 1E2 en hexadécimal.

Réponse : 1E2 en hexadécimal

Exercice 6 : Conversion du décimal vers l’octal

Convertir le nombre décimal 312 en octal.

Solution :

1. Divisons 312 par 8 :

   312 ÷ 8 = 39, reste 0
   39 ÷ 8 = 4, reste 7
   4 ÷ 8 = 0, reste 4

2. En lisant les restes de bas en haut, on obtient 470.

Ainsi, 312 en décimal est égal à 470 en octal.

Réponse : 470 en octal

Exercice 7 : Conversion de l’octal vers le binaire

Convertir le nombre octal 756 en binaire.

Solution :

Convertissons chaque chiffre octal en binaire (en utilisant 3 bits) :

• 7 = 111
• 5 = 101
• 6 = 110

Reconstituons le nombre binaire :

   111 101 110

Ainsi, 756 en octal devient 111101110 en binaire.

Réponse : 111101110 en binaire

Exercice 8 : Conversion de l’hexadécimal vers l’octal

Convertir le nombre hexadécimal A5 en octal.

Solution :

Convertissons d’abord l’hexadécimal en binaire :

• A = 1010
• 5 = 0101 Cela donne le nombre binaire 10100101.

Convertissons ensuite le binaire en octal en divisant en groupes de 3 bits :

   101 001 010

• 101 = 5
• 001 = 1
• 010 = 2

Ainsi, A5 en hexadécimal devient 512 en octal.

Réponse : 512 en octal

Exercice 9 : Conversion du binaire vers l’octal

Convertir le nombre binaire 100101110 en octal.

Solution :

1. Divisons le nombre binaire en groupes de 3 bits en partant de la droite :

   100 101 110

2. Convertissons chaque groupe en octal :

• 100 = 4
• 101 = 5
• 110 = 6

Ainsi, 100101110 en binaire devient 456 en octal.

Réponse : 456 en octal

Exercice 10 : Conversion de l’octal vers le décimal

Convertir le nombre octal 654 en décimal.

Solution :

1. Décomposons le nombre en puissances de 8 :

   654 en octal = (6 × 8²) + (5 × 8¹) + (4 × 8⁰)

2. Effectuons les calculs :

   = (6 × 64) + (5 × 8) + (4 × 1)
   = 384 + 40 + 4
   = 428

Ainsi, 654 en octal est égal à 428 en décimal.

Réponse : 428 en décimal

Ces exercices couvrent différents types de conversions octales : entre binaire, décimal, hexadécimal et octal. Les conversions entre l’octal et les autres systèmes sont directes grâce à la correspondance entre les groupes de 3 bits et les chiffres octaux. Vous pouvez maintenant utiliser ces techniques pour effectuer facilement des conversions entre les différents systèmes de numération

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