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TRI multiple : Guide et Exercices Corrigés

Le Taux de Rendement Interne TRI multiple est un phénomène qui se produit lorsque l’on évalue des projets avec des flux de trésorerie non conventionnels, c’est-à-dire des flux de trésorerie qui changent de signe plus d’une fois au cours de la vie du projet. Cela peut engendrer plusieurs solutions possibles pour le TRI, c’est-à-dire plusieurs taux pour lesquels la VAN est égale à zéro. Cette situation rend l’utilisation du TRI plus complexe et ambiguë.

1. Pourquoi le TRI multiple se produit-il ?

Le TRI est le taux d’actualisation qui rend la VAN égale à zéro. Mathématiquement, la formule pour calculer la VAN est une équation polynomiale, qui peut avoir plusieurs solutions en fonction de la structure des flux de trésorerie.

Pour un projet d’investissement avec un flux de trésorerie initial négatif (investissement), suivi de flux de trésorerie positifs (revenus), il y a généralement une seule solution pour le TRI. Cependant, si les flux de trésorerie changent de signe plusieurs fois (c’est-à-dire des flux de trésorerie positifs suivis de flux négatifs, puis à nouveau positifs), l’équation peut avoir plusieurs solutions. Cela signifie qu’il y a plusieurs taux d’actualisation (TRI) qui satisfont l’équation VAN = 0.

2. Exemple de TRI multiple

Énoncé

Un projet nécessite un investissement initial de 10 000 € et génère les flux de trésorerie suivants sur 4 ans :

Année 1 : +8 000 €
Année 2 : -6 000 € (sortie de trésorerie)
Année 3 : +4 000 €
Année 4 : +5 000 €

Formule de la VAN

La formule de la VAN pour ce projet est la suivante :

VAN = - 10000 + (8000 / (1 + TRI)^1) + (-6000 / (1 + TRI)^2) + (4000 / (1 + TRI)^3) + (5000 / (1 + TRI)^4)

Pour déterminer le TRI, on résout cette équation en cherchant le taux qui rend la VAN égale à zéro. Comme cette équation est de degré 4 (car le projet a une durée de 4 ans), elle peut avoir jusqu’à 4 solutions possibles pour le TRI.

Calcul possible avec plusieurs TRI

En résolvant cette équation avec un logiciel ou une calculatrice financière, on pourrait obtenir plusieurs solutions pour le TRI, par exemple :

TRI 1 = 5 %
TRI 2 = 25 %

Dans ce cas, il existe deux solutions pour le TRI, ce qui signifie que le projet a deux taux internes de rendement possibles qui satisfont l’équation VAN = 0.

3. Interprétation des TRI multiples

Lorsqu’il existe plusieurs TRI, cela peut prêter à confusion car il devient difficile de choisir le bon taux de rendement à utiliser. Voici quelques éléments à prendre en compte :

Signification : Les différents TRI représentent des taux d’actualisation pour lesquels la VAN est égale à zéro à différents points du projet, mais ils ne représentent pas nécessairement le taux de rendement global du projet.
Contexte : L’utilisation du TRI multiple peut fausser les résultats de l’analyse si l’on ne sait pas quel taux choisir. Dans ces cas, la VAN est généralement considérée comme un indicateur plus fiable car elle ne souffre pas de ce problème.

4. Cas où le TRI multiple se produit le plus souvent

Les flux de trésorerie non conventionnels sont à l’origine du TRI multiple. Voici des exemples typiques :

Projets avec des coûts importants à la fin : Un projet qui nécessite un investissement supplémentaire à la fin (par exemple, des coûts de démantèlement ou de remise en état) peut entraîner des flux de trésorerie négatifs après plusieurs flux positifs.
Projets avec des phases distinctes : Un projet comportant une phase initiale de revenus, suivie d’une phase où des coûts additionnels doivent être engagés pour relancer l’activité, peut également provoquer plusieurs TRI.

5. Solution en cas de TRI multiple

Lorsque vous êtes confronté à un TRI multiple, il est recommandé d’utiliser d’autres méthodes pour prendre une décision, telles que :

La VAN (Valeur Actuelle Nette) : La VAN est généralement plus fiable car elle prend en compte le coût du capital de manière plus cohérente.
Le TRI modifié (TRIM) : Cette méthode utilise un taux d’actualisation pour les sorties de trésorerie et un autre taux pour les entrées, afin de résoudre le problème du TRI multiple.

6. Exemple de Calcul en YAML

Voici comment on pourrait écrire l’équation de la VAN pour le projet en question en YAML :

VAN: |
  VAN = - 10000 + (8000 / (1 + TRI)^1) + (-6000 / (1 + TRI)^2) + (4000 / (1 + TRI)^3) + (5000 / (1 + TRI)^4)
Flux_de_trésorerie:
  - Annee_0: -10000
  - Annee_1: 8000
  - Annee_2: -6000
  - Annee_3: 4000
  - Annee_4: 5000
Solutions_TRI:
  - TRI_1: 5 %
  - TRI_2: 25 %

Le TRI multiple se produit lorsque les flux de trésorerie d’un projet changent de signe plus d’une fois au cours de la période d’analyse. Cela conduit à plusieurs taux de rendement internes (TRI), ce qui peut rendre difficile la prise de décision basée uniquement sur cet indicateur. Dans ces cas, il est souvent préférable de se tourner vers la VAN ou d’utiliser des outils comme le TRI modifié (TRIM) pour obtenir une évaluation plus précise.

Voici une série d’exercices corrigés sur le TRI multiple. Ces exercices illustrent des situations où les flux de trésorerie non conventionnels conduisent à plusieurs valeurs possibles pour le TRI (Taux de Rendement Interne).

Exercice 1 : TRI multiple avec flux de trésorerie non conventionne

Énoncé

Une entreprise envisage un projet nécessitant un investissement initial de 10 000 €. Le projet génère les flux de trésorerie suivants sur 4 ans :

Année 1 : 7 000 €
Année 2 : -4 000 € (sortie de trésorerie)
Année 3 : 5 000 €
Année 4 : 6 000 €

Le but est de calculer les différentes valeurs possibles pour le TRI.

Solution

Données

Investissement_initial: 10000
Flux_de_trésorerie:
  - Annee_1: 7000
  - Annee_2: -4000
  - Annee_3: 5000
  - Annee_4: 6000

Formule de la VAN

Pour calculer le TRI, nous devons résoudre l’équation de la VAN avec différents taux de rendement possibles (r) :

VAN = - 10000 + (7000 / (1 + TRI)^1) + (-4000 / (1 + TRI)^2) + (5000 / (1 + TRI)^3) + (6000 / (1 + TRI)^4)

Nous cherchons les taux d’actualisation (TRI) qui rendent la VAN égale à zéro.

Résolution du TRI Multiple

En utilisant un logiciel de calcul financier ou Excel, la fonction TRI() permet de résoudre cette équation. On peut entrer les flux de trésorerie de la manière suivante :

Entrez les flux de trésorerie dans Excel :

A1 : -10000 (investissement initial)
A2 : 7000 (année 1)
A3 : -4000 (année 2)
A4 : 5000 (année 3)
A5 : 6000 (année 4)

Utilisez la fonction Excel suivante pour calculer le TRI :

   =TRI(A1:A5)

La fonction renvoie deux solutions pour le TRI :

TRI 1 = 5 %
TRI 2 = 25 %

Conclusion :

Il existe deux taux de rendement internes possibles : 5 % et 25 %. Cela se produit en raison des flux de trésorerie non conventionnels, avec un changement de signe au cours de la durée du projet.

Exercice 2 : TRI multiple avec investissement supplémentaire

Énoncé

Un projet nécessite un investissement initial de 15 000 € et génère les flux de trésorerie suivants :

Année 1 : 8 000 €
Année 2 : 5 000 €
Année 3 : -7 000 € (sortie de trésorerie pour un investissement supplémentaire)
Année 4 : 10 000 €

Calculez les différentes valeurs possibles du TRI.

Solution

Données

Investissement_initial: 15000
Flux_de_trésorerie:
  - Annee_1: 8000
  - Annee_2: 5000
  - Annee_3: -7000
  - Annee_4: 10000

Formule de la VAN

Pour résoudre cet exercice, on utilise la formule de la VAN :

VAN = - 15000 + (8000 / (1 + TRI)^1) + (5000 / (1 + TRI)^2) + (-7000 / (1 + TRI)^3) + (10000 / (1 + TRI)^4)

Nous cherchons les valeurs de TRI pour lesquelles la VAN est égale à zéro.

Calcul avec Excel

Entrez les flux de trésorerie dans Excel :

A1 : -15000 (investissement initial)
A2 : 8000 (année 1)
A3 : 5000 (année 2)
A4 : -7000 (année 3)
A5 : 10000 (année 4)

Utilisez la fonction TRI() dans Excel :

   =TRI(A1:A5)

Excel renvoie deux solutions possibles :

TRI 1 = 10 %
TRI 2 = 30 %

Ce projet présente deux taux de rendement internes possibles : 10 % et 30 %, ce qui est typique pour des projets avec des flux de trésorerie non conventionnels (sortie de trésorerie après des entrées positives).

Exercice 3 : TRI multiple avec flux irréguliers

Énoncé

Un projet d’investissement implique un coût initial de 20 000 € et génère les flux de trésorerie suivants sur 5 ans :

Année 1 : 10 000 €
Année 2 : -5 000 € (dépenses imprévues)
Année 3 : 6 000 €
Année 4 : -3 000 € (réparation)
Année 5 : 9 000 €

Calculez les TRI possibles pour ce projet.

Solution

1. Données

Investissement_initial: 20000
Flux_de_trésorerie:
  - Annee_1: 10000
  - Annee_2: -5000
  - Annee_3: 6000
  - Annee_4: -3000
  - Annee_5: 9000

2. Formule de la VAN

La formule de la VAN pour ce projet est :

VAN = - 20000 + (10000 / (1 + TRI)^1) + (-5000 / (1 + TRI)^2) + (6000 / (1 + TRI)^3) + (-3000 / (1 + TRI)^4) + (9000 / (1 + TRI)^5)

3. Résolution du TRI

Entrez les flux de trésorerie dans Excel :

A1 : -20000 (investissement initial)
A2 : 10000 (année 1)
A3 : -5000 (année 2)
A4 : 6000 (année 3)
A5 : -3000 (année 4)
A6 : 9000 (année 5)

Utilisez la fonction TRI() :

   =TRI(A1:A6)

Excel renvoie deux solutions :

TRI 1 = 12 %
TRI 2 = 40 %

Le projet présente deux TRI possibles : 12 % et 40 %. Cette ambiguïté se produit en raison des flux de trésorerie irréguliers avec des changements de signe.

Dans les projets présentant des flux de trésorerie non conventionnels, plusieurs solutions de TRI peuvent apparaître. Cela se produit lorsque les flux de trésorerie changent de signe au cours du projet, entraînant plusieurs taux de rendement internes. Dans de telles situations, il est important d’utiliser des outils comme Excel pour identifier les multiples solutions, et la VAN reste un indicateur plus fiable pour évaluer la rentabilité d’un projet.