La parité d’une fonction est un concept fondamental en mathématiques qui permet de caractériser le comportement de la fonction en rapport avec la symétrie de son graphe. Une fonction peut être soit paire, soit impaire, soit ni l’une ni l’autre. Dans cet article, nous allons explorer ces concepts à travers des exercices corrigés pour mieux comprendre leur application.
Énoncé : Déterminer si la fonction suivante est paire, impaire ou ni l’une ni l’autre.
[ f(x) = x^2 + 3 ]
Correction :
La fonction ( f(x) = x^2 + 3 ) est donc paire.
Énoncé : Déterminer si la fonction suivante est paire, impaire ou ni l’une ni l’autre.
[ g(x) = x^3 – x ]
Correction :
La fonction ( g(x) = x^3 – x ) est donc impaire.
Énoncé : Déterminer si la fonction suivante est paire, impaire ou ni l’une ni l’autre.
[ h(x) = x^2 + x ]
Correction :
Calculons:
h(−x)=(−x)2+(−x)=x2−x
La fonction ( h(x) = x^2 + x ) n’est ni paire ni impaire.
Après avoir abordé les bases de la parité des fonctions, nous allons maintenant explorer des exercices plus avancés. Ces exercices nécessitent une compréhension approfondie des concepts de parité et peuvent impliquer des opérations sur des fonctions plus complexes.
Énoncé : Soient les fonctions ( f(x) = x^3 ) et ( g(x) = \cos(x) ). Déterminer la parité de la fonction composée ( h(x) = f(g(x)) ).
Correction :
Énoncé : Soit la fonction ( f(x) = e^{-x^2} ). Déterminer si sa dérivée ( f'(x) ) est paire, impaire ou ni l’une ni l’autre.
Correction :
La dérivée ( f'(x) = -2x e^{-x^2} ) est donc impaire.
Énoncé : Soit la fonction définie par morceaux suivante :
Déterminer si cette fonction est paire, impaire ou ni l’une ni l’autre.
Correction :
Dans les deux cas, ( f(-x) = f(x) ).
La fonction définie par morceaux est donc paire.
Énoncé : Soit la fonction ( f(x) = \sin(x^2) ). Déterminer si cette fonction est paire, impaire ou ni l’une ni l’autre.
Correction :
La fonction ( f(x) = \sin(x^2) ) est donc paire.
La parité des fonctions est un concept clé pour comprendre la symétrie des graphes des fonctions. En identifiant si une fonction est paire, impaire ou ni l’une ni l’autre, nous pouvons mieux appréhender leur comportement et leurs propriétés. Les exercices corrigés ci-dessus montrent comment aborder et résoudre des problèmes de parité de fonctions de manière méthodique.
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