Exercices Corrigés : Conversions entre systèmes numériques : binaire, décimal, hexadécimal et octal

Voici une série d’exercices avec leurs solutions détaillées pour vous aider à comprendre les conversions entre systèmes numériques : binaire, décimal, hexadécimal et octal.

Exercice 1 : Conversion du binaire vers le décimal

Convertissez le nombre binaire 110101 en nombre décimal.

Solution :

Chaque bit d’un nombre binaire correspond à une puissance de 2, en commençant par 2⁰ à droite.

110101 en binaire
= (1 × 2⁵) + (1 × 2⁴) + (0 × 2³) + (1 × 2²) + (0 × 2¹) + (1 × 2⁰)
= (1 × 32) + (1 × 16) + (0 × 8) + (1 × 4) + (0 × 2) + (1 × 1)
= 32 + 16 + 0 + 4 + 0 + 1
= 53

Réponse : 110101 en binaire est égal à 53 en décimal.

Exercice 2 : Conversion du décimal vers le binaire

Convertissez le nombre décimal 45 en binaire.

Solution :

On divise le nombre par 2 de manière répétée, en notant les restes à chaque étape. Ensuite, on lit les restes de bas en haut.

45 ÷ 2 = 22, reste 1
22 ÷ 2 = 11, reste 0
11 ÷ 2 = 5, reste 1
5 ÷ 2 = 2, reste 1
2 ÷ 2 = 1, reste 0
1 ÷ 2 = 0, reste 1

En lisant les restes de bas en haut, on obtient 101101.

Réponse : 45 en décimal est égal à 101101 en binaire.

Exercice 3 : Conversion du décimal vers l’hexadécimal

Convertissez le nombre décimal 156 en hexadécimal.

Solution :

On divise le nombre par 16 de manière répétée, en notant les restes. Ensuite, on lit les restes de bas en haut.

156 ÷ 16 = 9, reste 12 (C en hexadécimal)
9 ÷ 16 = 0, reste 9

En lisant les restes de bas en haut, on obtient 9C.

Réponse : 156 en décimal est égal à 9C en hexadécimal.

Exercice 4 : Conversion de l’hexadécimal vers le décimal

Convertissez le nombre hexadécimal A7 en décimal.

Solution :

Chaque chiffre hexadécimal correspond à une puissance de 16.

A7 en hexadécimal
= (A × 16¹) + (7 × 16⁰)
= (10 × 16) + (7 × 1)
= 160 + 7
= 167

Réponse : A7 en hexadécimal est égal à 167 en décimal.

Exercice 5 : Conversion de l’octal vers le binaire

Convertissez le nombre octal 745 en binaire.

Solution :

Chaque chiffre octal correspond à un groupe de 3 bits en binaire.

7 en octal = 111 en binaire
4 en octal = 100 en binaire
5 en octal = 101 en binaire

Ainsi, 745 en octal devient 111 100 101 en binaire.

Réponse : 745 en octal est égal à 111100101 en binaire.

Exercice 6 : Conversion du binaire vers l’octal

Convertissez le nombre binaire 11011010 en octal.

Solution :

On divise le nombre binaire en groupes de 3 bits en partant de la droite. S’il manque des bits, on ajoute des zéros à gauche pour compléter le dernier groupe.

11011010 → 110 110 010

Ensuite, on convertit chaque groupe en son équivalent octal :

110 = 6
110 = 6
010 = 2

Ainsi, 11011010 en binaire devient 662 en octal.

Réponse : 11011010 en binaire est égal à 662 en octal.

Exercice 7 : Conversion du binaire vers l’hexadécimal

Convertissez le nombre binaire 10110101 en hexadécimal.

Solution :

On divise le nombre binaire en groupes de 4 bits en partant de la droite.

10110101 → 1011 0101

Ensuite, on convertit chaque groupe en son équivalent hexadécimal :

1011 = B
0101 = 5

Ainsi, 10110101 en binaire devient B5 en hexadécimal.

Réponse : 10110101 en binaire est égal à B5 en hexadécimal.

Exercice 8 : Conversion de l’hexadécimal vers le binaire

Convertissez le nombre hexadécimal 3F en binaire.

Solution :

Chaque chiffre hexadécimal correspond à un groupe de 4 bits en binaire.

3 en hexadécimal = 0011 en binaire
F en hexadécimal = 1111 en binaire

Ainsi, 3F en hexadécimal devient 0011 1111 en binaire.

Réponse : 3F en hexadécimal est égal à 00111111 en binaire.

Exercice 9 : Conversion de l’octal vers le décimal

Convertissez le nombre octal 157 en décimal.

Solution :

Chaque chiffre octal correspond à une puissance de 8.

157 en octal
= (1 × 8²) + (5 × 8¹) + (7 × 8⁰)
= (1 × 64) + (5 × 8) + (7 × 1)
= 64 + 40 + 7
= 111

Réponse : 157 en octal est égal à 111 en décimal.

Exercice 10 : Conversion du décimal vers l’octal

Convertissez le nombre décimal 75 en octal.

Solution :

On divise le nombre par 8 de manière répétée, en notant les restes.

75 ÷ 8 = 9, reste 3
9 ÷ 8 = 1, reste 1
1 ÷ 8 = 0, reste 1

En lisant les restes de bas en haut, on obtient 113.

Réponse : 75 en décimal est égal à 113 en octal.

Ces exercices couvrent plusieurs types de conversions entre les systèmes numériques couramment utilisés (binaire, décimal, hexadécimal, et octal). Il est essentiel de bien comprendre les relations entre ces systèmes pour pouvoir effectuer facilement des conversions.