En informatique, pour représenter des nombres négatifs, on utilise plusieurs méthodes, mais la plus courante est la méthode du complément à deux. Cette méthode permet de représenter à la fois des nombres positifs et négatifs en binaire de manière efficace et uniforme, en utilisant un nombre fixe de bits.

Voici les principales méthodes de représentation des nombres négatifs en binaire, avec un focus particulier sur le complément à deux, qui est le plus utilisé.

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1. Signe et valeur absolue (Sign-Magnitude)

La méthode signe et valeur absolue est l’une des méthodes les plus simples pour représenter des nombres négatifs. Elle utilise le bit de gauche (le bit de poids le plus fort, ou MSB, Most Significant Bit) pour indiquer le signe du nombre, tandis que les bits restants représentent la valeur absolue du nombre.

• 0 dans le bit de gauche signifie un nombre positif.
• 1 dans le bit de gauche signifie un nombre négatif.

Exemple sur 4 bits :

• +5 en binaire (4 bits) : 0101
• -5 en binaire (4 bits) : 1101

Problèmes avec cette méthode :

• Elle a deux représentations pour le zéro : 0000 (+0) et 1000 (-0), ce qui complique les opérations arithmétiques.
• Elle rend les calculs plus complexes, notamment pour l’addition et la soustraction.

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2. Complément à un

Le complément à un est une autre méthode pour représenter les nombres négatifs en binaire. Elle fonctionne en inversant tous les bits du nombre positif pour obtenir le nombre négatif.

Étapes :

1. Représenter le nombre positif en binaire.
2. Inverser tous les bits (les 0 deviennent des 1 et les 1 deviennent des 0).

Exemple sur 4 bits :

• +5 en binaire (4 bits) : 0101
• -5 en complément à un : 1010 (on inverse tous les bits)

Problèmes avec cette méthode :

• Elle a également deux représentations pour le zéro : 0000 (+0) et 1111 (-0).
• Les calculs peuvent être plus compliqués, car il faut souvent gérer la retenue à chaque addition.

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3. Complément à deux (Two’s complement)

La méthode du complément à deux est de loin la plus utilisée pour représenter des nombres négatifs en binaire, car elle résout les problèmes des autres méthodes (comme la double représentation du zéro) et simplifie les opérations arithmétiques.

Comment fonctionne le complément à deux :

1. Représenter le nombre positif en binaire.
2. Inverser tous les bits du nombre (complément à un).
3. Ajouter 1 au résultat pour obtenir le complément à deux.

Exemple sur 4 bits : Représentation de -5

1. +5 en binaire (4 bits) : 0101
2. Inverser tous les bits : 1010 (complément à un)
3. Ajouter 1 : 1010 + 1 = 1011

Ainsi, -5 en complément à deux sur 4 bits est représenté par 1011.

Propriétés importantes :

• Un seul zéro (0000).
• Le complément à deux facilite les opérations d’addition et de soustraction, car les nombres négatifs se comportent naturellement dans les calculs binaires.

Exemple complet :

Prenons un exemple de représentation de -6 en complément à deux sur 4 bits.

1. +6 en binaire : 0110
2. Inverser tous les bits : 1001 (complément à un)
3. Ajouter 1 : 1001 + 1 = 1010

Ainsi, -6 en complément à deux sur 4 bits est représenté par 1010.

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4. Plage de valeurs en complément à deux

Le complément à deux permet de représenter à la fois des nombres positifs et négatifs, avec une plage asymétrique. Pour n bits, on peut représenter :

• Les nombres positifs de 0 à 2ⁿ⁻¹ – 1.
• Les nombres négatifs de -2ⁿ⁻¹ à -1.

Exemple sur 4 bits :

• Plage pour les nombres positifs : de 0 à 7 (0000 à 0111).
• Plage pour les nombres négatifs : de -8 à -1 (1000 à 1111).

Nombre décimal	Représentation binaire (complément à deux sur 4 bits)
7	0111
6	0110
5	0101
4	0100
3	0011
2	0010
1	0001
0	0000
-1	1111
-2	1110
-3	1101
-4	1100
-5	1011
-6	1010
-7	1001
-8	1000

Notez que -8 est le plus petit nombre représentable avec 4 bits en complément à deux.

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5. Addition et soustraction en complément à deux

L’une des raisons pour lesquelles le complément à deux est largement utilisé est qu’il permet de simplifier les opérations arithmétiques, notamment l’addition et la soustraction.

Exemple d’addition :

Additionnons 5 et -3 en binaire, tous deux représentés en complément à deux sur 4 bits.

1. +5 : 0101
2. -3 : 1101 (complément à deux de +3)
3. Addition :

   0101
 + 1101
 ------
   0010   (la retenue est ignorée en complément à deux)

Le résultat est 0010, soit +2 en décimal, ce qui est correct puisque 5 – 3 = 2.

Exemple de soustraction :

Soustrayons 5 de 6 en complément à deux sur 4 bits.

1. +6 : 0110
2. -5 : 1011 (complément à deux de +5)
3. Addition :

   0110
 + 1011
 ------
   0001   (la retenue est ignorée)

Le résultat est 0001, soit +1 en décimal, ce qui est correct puisque 6 – 5 = 1.

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Le complément à deux est la méthode la plus couramment utilisée pour représenter des nombres négatifs en binaire, car elle permet des calculs efficaces et uniformes dans les systèmes informatiques. Contrairement aux autres méthodes (signe et valeur absolue, complément à un), le complément à deux permet une gestion naturelle de l’arithmétique, tout en évitant la double représentation du zéro et en simplifiant les opérations.

C’est pourquoi tous les systèmes modernes (processeurs, mémoires) utilisent cette technique pour coder les entiers signés.