Le modèle de Wilson (EOQ : Economic Order Quantity) répond à une question simple : quelle quantité commander pour minimiser le coût annuel de gestion des stocks ?
Il équilibre coût de commande et coût de possession, puis l’étend à la fiabilité d’approvisionnement (stock de sécurité, point de commande), au taux de service/fill rate, et aux contraintes d’achat (MOQ, multiple de lot).
La formule de Wilson, aussi appelée EOQ pour Economic Order Quantity, permet de calculer la quantité optimale à commander. Son objectif est simple : trouver l’équilibre entre le coût de passation des commandes et le coût de possession du stock.
EOQ = √((2 × D × S) ÷ H)
D = demande annuelle | S = coût de commande | H = coût annuel de possession par unité
Pour calculer l’EOQ, il faut connaître trois données : la demande annuelle, le coût de passation d’une commande et le coût de stockage d’une unité pendant un an.
| Donnée | Signification | Exemple |
|---|---|---|
| D | Demande annuelle | 12 000 unités |
| S | Coût par commande | 50 € |
| H | Coût de possession par unité/an | 2 € |
Une entreprise consomme 12 000 unités par an. Chaque commande coûte 50 € et le coût annuel de stockage est de 2 € par unité.
EOQ = √((2 × 12 000 × 50) ÷ 2) = √600 000 = 775 unités environ.
Énoncé : une PME vend 8 000 pièces par an. Le coût d’une commande est de 40 € et le coût de stockage annuel est de 1,60 € par pièce.
Calcul : EOQ = √((2 × 8 000 × 40) ÷ 1,60)
Résultat : EOQ = √400 000 = 632 pièces.
Le coût total combine le coût de commande et le coût de possession du stock. Il permet de vérifier si la quantité commandée est réellement économique.
Coût total = (D ÷ Q × S) + (Q ÷ 2 × H)
Le modèle de Wilson aide à réduire les coûts en évitant deux erreurs fréquentes : commander trop souvent ou commander en quantité excessive.
| Notion | Rôle | Question traitée |
|---|---|---|
| EOQ | Quantité optimale à commander | Combien commander ? |
| Stock de sécurité | Réserve contre les imprévus | Combien garder en protection ? |
Dans Excel, le calcul de l’EOQ peut être automatisé à partir de trois cellules : demande annuelle, coût de commande et coût de possession.
Formule Excel : =RACINE((2*Demande*Coût_Commande)/Coût_Possession)
Le modèle de Wilson reste très utile, mais il repose sur des hypothèses simplifiées : demande stable, coûts connus, délais maîtrisés et absence de rupture.
En cas de saisonnalité, d’inflation des coûts, de fournisseurs instables ou de délais variables, il faut compléter l’EOQ par un stock de sécurité et un point de commande.
Dans la supply chain, la formule de Wilson sert à structurer les politiques d’approvisionnement, réduire les stocks inutiles et améliorer la disponibilité produit.
Définir les quantités économiques par fournisseur.
Limiter le surstock et optimiser l’espace.
Réduire le capital immobilisé en stock.
Une fois l’EOQ calculée, il devient possible de déterminer le nombre de commandes à passer dans l’année et l’intervalle moyen entre deux commandes.
Nombre de commandes = Demande annuelle ÷ EOQ
Intervalle entre commandes = 365 ÷ Nombre de commandes
⬇️
Hypothèses classiques : demande et délai stationnaires et indépendants ; coût unitaire constant (hors remises par paliers) ; réception instantanée (sans production interne continue).
EOQ = √( 2 × D × S / ( h × C ) )
Commandes/an = D / EOQ
Coût commandes/an = S × (D / EOQ)
Stock moyen (sans SS) = EOQ / 2
Coût possession/an = h × C × Stock_moyen
Coût logistique/an = Coût commandes + Coût possession
Coût total/an = D × C + Coût logistique
Demande moyenne par jour : d = D / WDAYS
Variabilité sur le délai :
σLD = √( L × σd² + d² × σL² )
z = NORM.S.INV(CSL) (ou NORMSINV en Excel « legacy »)
SS = z × σLD
ROP = d × L + SS
Couverture (jours) = ROP / d
Avec k = (ROP − d×L) / σLD (≈ z si SS calé sur le CSL) :
Φ(k) = NORM.S.DIST(k;VRAI) (ou NORMSDIST)
φ(k) = NORM.DIST(k;0;1;FAUX) (ou NORMDIST(k;0;1;FAUX))
ES (manquants/cycle) = σLD × [ φ(k) − k × (1 − Φ(k)) ]
Fill rate ≈ 1 − ES / EOQ
Coût de rupture/an = Pénalité€/u × ES × (D/EOQ)
Dans Excel :
Q_effectif = MAX(MOQ ; ARRONDI.AU.MULTIPLE(EOQ ; MULT))
Utiliser ARRONDI.SUP(EOQ/MULT;0)×MULT si ARRONDI.AU.MULTIPLE n’est pas disponible.
Hypothèses
Résultats (calcul exacts)
Lecture : la logistique (commandes + possession) pèse 0,8 % du coût d’achat dans cet exemple ; EOQ ≈ 6 400 u donne un fill rate ≈ 99,5 % avec CSL = 95 %.
=RACINE(2*D*S/(h*C))=NORM.S.INV(0,95) ou =NORMSINV(0,95)=RACINE(L*SIGMAD^2 + (D/WDAYS)^2*SIGMAL^2)=z*σLD=(D/WDAYS)*L + SS=σLD*(NORM.DIST(k;0;1;FAUX) - k*(1-NORM.S.DIST(k;VRAI)))NORMDIST, NORMSDIST)=1 - ES/EOQ=MAX(MOQ;ARRONDI.SUP(EOQ/MULT;0)*MULT)Astuce compatibilité : sur d’anciennes versions/localisations, remplacez NORM.S.INV/NORM.S.DIST par NORMSINV/NORMSDIST et utilisez le séparateur ; au lieu de , si Excel le demande.
h×C).ROP = d×L + SS.NORMSINV, NORMSDIST, NORMDIST).Le calculateur EOQ (Wilson) vous aide à déterminer, en quelques minutes, la quantité économique de commande, le stock de sécurité et le point de commande qui minimisent vos coûts de stock. Entrez simplement vos données (demande, coût de commande, coût unitaire, taux de possession, délai…) dans les cellules bleues : le fichier calcule automatiquement les KPI, le taux de service/fill rate et affiche la courbe du coût optimal. Compatible toutes versions d’Excel, il intègre aussi les contraintes MOQ/multiples et un coût de rupture optionnel pour des décisions opérationnelles fiables.
Un calculateur EOQ (Wilson) complet et compatible toutes versions Excel, qui détermine :
Version “compat” : j’utilise NORMSINV / NORMSDIST / NORMDIST à la place de NORM.S.* pour éviter l’erreur #NOM? selon les versions/localisations d’Excel.
Onglet « Paramètres »
=RACINE(2*D*S/(h*C))=MAX(MOQ;ARRONDI.SUP(EOQ/MULT;0)*MULT)D / JoursOuvrés ; σLD = √( L*σd² + d²*σL² )NORMSINV(CSL) ; SS auto = z*σLD ; SS retenu = (Auto ou Manuel)d*L + SS ; Couverture = ROP / dQ/2 + SSS * (D/Q)h * C * Stock_moyenD*C + Logistiquek = (ROP − d*L)/σLD ; Φ(k) = NORMSDIST(k) ; φ(k) = NORMDIST(k;0;1;FAUX)σLD*(φ(k) − k*(1−Φ(k)))ES * (D/Q) ; Coût de rupture = PEN * Manquants/an; au lieu des , : acceptez (Excel convertit).Ci-après une série de cas particuliers autour d’EOQ (Wilson), chacun rédigé différemment et avec les formules codifiées.
Notation utile : (H = h X C) est le coût de possession annuel par unité (€/u/an).
Quand le prix unitaire baisse au-delà de certains seuils, le « meilleur » (Q) n’est pas forcément l’EOQ « théorique ». On évalue le coût total à l’EOQ de chaque palier et au point de rupture de prix, puis on retient le minimum faisable.
Pour le palier i (prix Ci, seuil Qi_min) :
EOQ_i = √( 2 D S / (h Ci) )
TC(Q ; Ci) = D·Ci + S·(D/Q) + (h·Ci)·(Q/2 + SS)
Tester : Q = max(EOQ_i, Qi_min) et Q = Qi_min
Choisir le Q (et Ci) donnant le TC minimal
Si l’on tolère des retards servis avec pénalité (P) (€/u/an), l’optimum change : on commande plus souvent et on accepte un reliquat à servir.
H = h·C
Q* = √( 2 D S (H + P) / (H·P) )
B* = (H / (H + P)) · Q* (backorders max)
Stock_moyen = ( (Q* − B*) / 2 )
Coût_total_log = S·(D/Q*) + H·Stock_moyen + P·(B*/2)·(D/Q*)
Pour des articles à durée de vie (T) (jours), on borne la taille de lot : le cycle ne doit pas excéder (T), sinon on jette.
d = D / WDAYS
Contrôle de faisabilité : Q ≤ d · T
Si Q_théorique > d·T : prendre Q = d·T (ou plus petit multiple logistique)
Quand on produit à débit (P) (u/an) avec (P > D), le stock se remplit progressivement. L’optimum (POQ) tient compte du taux de consommation pendant la fabrication.
H = h·C
Q*POQ = √( (2 D S / H) · ( P / (P − D) ) )
Stock_moyen = (Q*POQ / 2) · (1 − D/P)
Coût_log = S·(D/Q*POQ) + H·Stock_moyen
Un stock max (hors SS) limite le lot. On « clippe » l’EOQ et on respecte les multiples d’emballage.
Capacité utile = K − SS
Borne sur Q : Q ≤ 2 · (K − SS)
Q_feasible = min( EOQ , 2·(K − SS) )
Q_effectif = max( MOQ , ceil(Q_feasible / MULT) · MULT )
Avec une demande par périodes (d_t) variable, l’EOQ constant n’est plus optimal. On bascule sur du Wagner-Whitin (programmation dynamique) pour minimiser coûts de commande + possession.
H = h·C (par période)
F(t) = coût minimal pour couvrir d1..dt
F(t) = min_{1≤k≤t} [ F(k−1) + S + H · Σ_{j=k}^{t} (j−k) · d_j ]
Politique : commander en k pour couvrir k..t* qui minimise F(t)
Si la cible porte sur le taux de service en quantité (β), on dimensionne le SS via la fonction de perte (L(z)).
σLD = √( L·σd² + d²·σL² )
L(z) = φ(z) − z · (1 − Φ(z))
Objectif : ES = L(z) · σLD ≈ (1 − β) · Q
Résoudre z : L(z) = (1 − β) · Q / σLD
Puis SS = z · σLD
Si la demande journalière et le délai sont corrélés (ex. délais ↑ quand la demande ↑), la variance sur le délai augmente.
Approximation :
σLD² ≈ L·σd² + d²·σL² + 2·d·Cov(d, L)
(où d = moyenne journalière, L = moyenne du délai)
SS = z · σLD avec ce σLD corrigé
Quand le fret varie par tranches (colis, palette, camion), le coût de commande n’est plus constant. On travaille par grille de Q faisables (multiples) et on évalue (S(Q)).
S_effectif(Q) = S_admin + Freight(Q)
TC(Q) = D·C + S_effectif(Q)·(D/Q) + H·(Q/2 + SS)
Algorithme : balayer Q ∈ { MOQ, MOQ+MULT, … } et choisir le TC minimal
En consolidant (n) entrepôts indépendants en un central, la variabilité s’agrège au √n (et pas en (n)), d’où un gain de SS.
SS_décentralisé ≈ n · z · σ · √L
SS_centralisé ≈ z · σ · √L · √n
Économie relative ≈ 1 − 1/√n
NORMSINV/NORMSDIST/NORMDIST assurent la compatibilité si NORM.S.* n’est pas reconnu.Le modèle de Wilson, également connu sous le nom de EOQ (Economic Order Quantity) ou quantité économique de commande, est l’une des méthodes les plus utilisées en gestion des stocks. Son objectif est de déterminer la quantité optimale à commander afin de réduire le coût global d’approvisionnement.
Dans de nombreuses entreprises, les coûts logistiques proviennent principalement de deux sources : les coûts liés aux commandes (temps administratif, transport, réception) et les coûts de stockage (entrepôt, assurance, immobilisation financière, risques d’obsolescence). Le modèle de Wilson cherche le point d’équilibre entre ces deux catégories de coûts.
Commander ni trop, ni trop peu. Une quantité trop faible multiplie les commandes, tandis qu’une quantité trop importante augmente les coûts de stockage.
Moins de surstock signifie moins d’espace occupé et moins de capital immobilisé.
Les commandes sont mieux planifiées et les coûts administratifs diminuent.
Le niveau de stock reste cohérent avec la consommation réelle.
Les approvisionnements deviennent plus prévisibles et plus faciles à organiser.
L’entreprise immobilise moins de trésorerie dans les stocks.
Les quantités optimales facilitent le maintien de la disponibilité des produits.
Une entreprise consomme 12 000 pièces par an. Si elle commande trop souvent, ses frais administratifs explosent. Si elle commande en trop grande quantité, elle augmente ses coûts de stockage. Grâce au modèle de Wilson, elle peut identifier automatiquement la quantité économique qui minimise le coût total annuel.
Utilisez ce simulateur pour calculer rapidement la quantité économique de commande selon la formule de Wilson. Renseignez la demande annuelle, le coût d’une commande et le coût de possession annuel par unité.
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