Les conversions binaires sont essentielles pour comprendre comment les ordinateurs stockent et traitent les données, car ils utilisent le système binaire (base 2). Ce guide couvre les conversions entre le système binaire et d’autres systèmes numériques courants : le système décimal (base 10), le système hexadécimal (base 16) et le système octal (base 8).
Le système binaire fonctionne en base 2, où chaque chiffre représente une puissance de 2. Pour convertir un nombre binaire en décimal, il suffit de multiplier chaque bit par sa puissance de 2 correspondante, en commençant par la droite, et de les additionner.
1011 en binaire
= (1 × 2³) + (0 × 2²) + (1 × 2¹) + (1 × 2⁰)
= (1 × 8) + (0 × 4) + (1 × 2) + (1 × 1)
= 8 + 0 + 2 + 1
= 11 en décimal
Ainsi, 1011 en binaire équivaut à 11 en décimal.
Pour convertir un nombre décimal en binaire, on utilise la méthode de la division par 2. On divise le nombre par 2 de manière répétée, en notant le reste à chaque division. Ensuite, on lit les restes de bas en haut pour obtenir le nombre binaire.
13 ÷ 2 = 6 reste 1
6 ÷ 2 = 3 reste 0
3 ÷ 2 = 1 reste 1
1 ÷ 2 = 0 reste 1
En lisant les restes de bas en haut, on obtient 1101 en binaire. Ainsi, 13 en décimal est égal à 1101 en binaire.
Le système hexadécimal (base 16) utilise 16 symboles : 0-9 pour les valeurs de 0 à 9, et A-F pour les valeurs de 10 à 15. La conversion binaire vers hexadécimal est simple car 4 bits en binaire correspondent directement à un chiffre hexadécimal.
1011 1010
Ainsi, 10111010 en binaire est égal à BA en hexadécimal.
La conversion d’un nombre hexadécimal en binaire est directe. Chaque chiffre hexadécimal est remplacé par son équivalent en 4 bits binaires.
Ainsi, BA en hexadécimal est égal à 10111010 en binaire.
Le système octal (base 8) utilise les chiffres de 0 à 7. La conversion binaire vers octal est simple car 3 bits en binaire correspondent directement à un chiffre octal.
101 110
Ainsi, 101110 en binaire est égal à 56 en octal.
La conversion d’un nombre octal en binaire est directe. Chaque chiffre octal est remplacé par son équivalent en 3 bits binaires.
Ainsi, 56 en octal est égal à 101110 en binaire.
Décimal | Binaire | Hexadécimal | Octal |
---|---|---|---|
0 | 0000 | 0 | 0 |
1 | 0001 | 1 | 1 |
2 | 0010 | 2 | 2 |
3 | 0011 | 3 | 3 |
4 | 0100 | 4 | 4 |
5 | 0101 | 5 | 5 |
6 | 0110 | 6 | 6 |
7 | 0111 | 7 | 7 |
8 | 1000 | 8 | 10 |
9 | 1001 | 9 | 11 |
10 | 1010 | A | 12 |
11 | 1011 | B | 13 |
12 | 1100 | C | 14 |
13 | 1101 | D | 15 |
14 | 1110 | E | 16 |
15 | 1111 | F | 17 |
La conversion entre les systèmes numériques, en particulier entre le binaire, le décimal, l’hexadécimal et l’octal, est un processus clé dans l’informatique. La méthode de conversion varie en fonction du système de numération, mais les étapes sont simples avec un peu de pratique. Maîtriser ces conversions vous aidera à mieux comprendre les opérations numériques et à naviguer dans les systèmes informatiques.
Ce guide devrait vous permettre de vous exercer à convertir facilement les nombres d’un système à un autre.
Lors des conversions entre le binaire et d’autres systèmes de numération, plusieurs cas particuliers peuvent se produire. Voici quelques exemples spécifiques qui peuvent poser des questions ou nécessiter une attention particulière.
Quel que soit le système de numération, le zéro reste toujours zéro. C’est un cas particulier simple.
Cela montre que le zéro reste identique dans tous les systèmes de numération.
Les puissances de 2 en binaire sont très particulières, car elles consistent toujours en un 1 suivi de zéros. Cela en fait des nombres faciles à convertir et à repérer.
Puissance de 2 | Binaire | Décimal |
---|---|---|
2⁰ | 1 | 1 |
2¹ | 10 | 2 |
2² | 100 | 4 |
2³ | 1000 | 8 |
2⁴ | 10000 | 16 |
2⁵ | 100000 | 32 |
2⁶ | 1000000 | 64 |
2⁷ | 10000000 | 128 |
En particulier, ces nombres sont faciles à convertir en décimal ou en hexadécimal.
Lorsque tous les bits d’un nombre binaire sont des 1, cela représente une séquence intéressante en décimal. C’est le plus grand nombre possible avec ce nombre de bits. Par exemple :
Cela signifie que pour n bits, le plus grand nombre représentable est 2ⁿ – 1. En hexadécimal, cette forme est également facile à convertir car elle utilise souvent les lettres de A à F.
Lorsqu’un nombre binaire se termine par un 1 avec tous les autres bits étant des 0, il représente toujours une puissance de 2.
Ce type de nombres est commun dans le traitement des puissances et des décalages binaires.
En binaire, les zéros à gauche n’ont aucun impact sur la valeur du nombre. Cependant, ils peuvent être utilisés pour rendre un nombre plus facile à manipuler dans certaines conversions ou dans des contextes spécifiques comme le codage binaire sur 8 bits, 16 bits, etc.
Cependant, pour certaines conversions (comme vers l’octal ou l’hexadécimal), ajouter des zéros à gauche peut rendre la conversion plus simple.
Prenons le nombre binaire 1101. Pour le convertir en hexadécimal, vous pouvez ajouter des zéros à gauche pour avoir un multiple de 4 bits :
1101 devient 0001 1101, ce qui donne 1D en hexadécimal.
Les nombres binaires qui représentent des multiples de 8 ou de 16 se terminent toujours par trois ou quatre zéros.
Ces motifs sont utiles lorsque vous travaillez avec des valeurs alignées sur des puissances de 2 dans des environnements informatiques.
Les nombres à virgule (fractions) peuvent également être convertis en binaire. La partie entière est convertie de manière classique, tandis que la partie fractionnaire est multipliée par 2 de manière répétée pour obtenir chaque chiffre binaire.
Résultat : 0,625 en décimal = 0,101 en binaire
En hexadécimal, les puissances de 16 sont représentées par des nombres qui se terminent par un ou plusieurs zéros (similaires aux puissances de 10 en décimal).
Cela simplifie parfois les conversions entre l’hexadécimal et le binaire, car chaque chiffre hexadécimal correspond exactement à 4 bits binaires.
👉 Les cas particuliers des conversions binaires sont des situations où des motifs spécifiques facilitent les conversions ou aident à comprendre certaines propriétés du système binaire. Qu’il s’agisse de puissances de 2, de séquences de 1, de zéros à gauche ou de nombres à virgule, ces situations apparaissent fréquemment dans l’informatique et les systèmes numériques.
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