1. Introduction à la notion de bit et d’octet

Dans le domaine de l’informatique et des télécommunications, le bit et l’octet sont deux unités fondamentales pour représenter et manipuler des informations. Ce guide vous aidera à comprendre ces concepts et leur relation avec le système binaire.

2. Qu’est-ce qu’un bit ?

Un bit (contraction de binary digit, c’est-à-dire chiffre binaire) est la plus petite unité d’information en informatique. Il ne peut avoir que deux valeurs : 0 ou 1. Ces deux valeurs correspondent aux deux états possibles en logique binaire (ouverture/fermeture d’un circuit, vrai/faux, allumé/éteint, etc.).

Les bits sont la base du système binaire, qui est le système de numération utilisé par les ordinateurs. Contrairement au système décimal (base 10), qui utilise les chiffres de 0 à 9, le système binaire utilise uniquement les chiffres 0 et 1.

Exemple de représentation en bits

Voici une représentation simple de quelques nombres en binaire :

• 0 en décimal = 0 en binaire
• 1 en décimal = 1 en binaire
• 2 en décimal = 10 en binaire
• 3 en décimal = 11 en binaire
• 4 en décimal = 100 en binaire

3. Qu’est-ce qu’un octet ?

Un octet est un ensemble de 8 bits. Dans la plupart des systèmes informatiques modernes, un octet est l’unité standard pour représenter un caractère (comme une lettre ou un symbole) et pour mesurer la quantité de données.

Représentation d’un octet

Voici un exemple de ce à quoi peut ressembler un octet :

11010101

Cet octet se compose de 8 bits, où chaque position contient soit un 0, soit un 1.

4. Relation entre bits et octets

La relation entre les bits et les octets est simple : 1 octet = 8 bits. Cela signifie que pour représenter des données dans un ordinateur, les informations sont stockées et transmises par blocs de 8 bits.

Conversion des bits en octets et inversement

• 1 octet = 8 bits
• 2 octets = 16 bits
• 4 octets = 32 bits

Et ainsi de suite.

5. Le système binaire expliqué

Le système binaire est un système de numération à base 2. Chaque chiffre binaire (ou bit) peut avoir une valeur de 0 ou de 1. Les bits sont regroupés pour former des nombres plus complexes.

Chaque position dans un nombre binaire représente une puissance de 2. Par exemple, pour le nombre binaire 1011, les valeurs sont :

• Le premier bit à droite (1) = 2⁰ = 1
• Le deuxième bit (1) = 2¹ = 2
• Le troisième bit (0) = 2² = 0
• Le quatrième bit (1) = 2³ = 8

Ainsi, 1011 en binaire équivaut à 11 en décimal.

Table de conversion binaire

Binaire	Décimal
0000	0
0001	1
0010	2
0011	3
0100	4
0101	5
0110	6
0111	7
1000	8
1001	9
1010	10

6. Importance des bits et des octets dans les systèmes informatiques

Dans le monde des ordinateurs, toutes les informations, qu’il s’agisse de texte, d’images, de sons ou de vidéos, sont stockées sous forme binaire. La taille des fichiers, la capacité de la mémoire (RAM) et des disques durs (comme les SSD) sont mesurées en octets et en multiples d’octets (kilo-octets, méga-octets, giga-octets, etc.).

• 1 kilooctet (Ko) = 1024 octets
• 1 mégaoctet (Mo) = 1024 Ko
• 1 gigaoctet (Go) = 1024 Mo

7. Conclusion

Les bits et les octets forment la base de toute l’informatique. Bien que les bits soient les unités les plus petites, les octets constituent la norme pour représenter et mesurer les données dans un système informatique. Comprendre leur fonctionnement, ainsi que le système binaire, est essentiel pour appréhender comment les ordinateurs stockent, traitent et transfèrent les informations.

Glossaire

• Bit : Unité binaire pouvant être 0 ou 1.
• Octet : Ensemble de 8 bits.
• Système binaire : Système de numération en base 2 utilisé par les ordinateurs.

Ce guide fournit une introduction simplifiée aux concepts essentiels des bits et des octets. Vous êtes maintenant mieux équipé pour comprendre les bases du stockage et de la manipulation des données en informatique.

Comment additionner des nombres binaires ?

L’addition binaire fonctionne de manière similaire à l’addition décimale, mais elle utilise seulement deux chiffres : 0 et 1. Les règles de base sont simples et vous rappelleront l’addition avec retenue en décimal.

Règles de l’addition binaire

Voici les règles d’addition en binaire pour deux bits :

• 0 + 0 = 0
• 0 + 1 = 1
• 1 + 0 = 1
• 1 + 1 = 10 (c’est-à-dire 0 avec une retenue de 1 à la colonne suivante)

Si deux bits donnent 1 + 1, cela produit un 0 avec une retenue de 1 (comme lorsqu’on fait 9 + 1 en décimal, on met 0 et reporte 1 à la colonne suivante).

Étapes pour additionner des nombres binaires

1. Additionner les bits de droite à gauche en suivant les règles ci-dessus.
2. Ajouter la retenue si nécessaire (comme en décimal).
3. Continuer à propager la retenue jusqu’à la colonne la plus à gauche.

Exemple 1 : Addition de 1011 et 1101

Additionnons les nombres binaires 1011 (11 en décimal) et 1101 (13 en décimal).

     1011   (11 en décimal)
  +  1101   (13 en décimal)
  --------

On procède de droite à gauche :

• Colonne 1 (bits les plus à droite) :
  1 + 1 = 10 (0, avec une retenue de 1)
• Colonne 2 :
  1 + 0 + 1 (retenue) = 10 (0, avec une retenue de 1)
• Colonne 3 :
  0 + 1 + 1 (retenue) = 10 (0, avec une retenue de 1)
• Colonne 4 :
  1 + 1 + 1 (retenue) = 11 (1, avec une retenue de 1)

Enfin, on ajoute la retenue supplémentaire à gauche :

     1011
  +  1101
  --------
    11000

Le résultat final est 11000 en binaire (24 en décimal).

Exemple 2 : Addition de 101 et 11

Additionnons 101 (5 en décimal) et 11 (3 en décimal).

     0101   (ajoutons un 0 pour aligner les colonnes)
  +  0011
  --------

Addition de droite à gauche :

• Colonne 1 :
  1 + 1 = 10 (0, retenue de 1)
• Colonne 2 :
  0 + 1 + 1 (retenue) = 10 (0, retenue de 1)
• Colonne 3 :
  1 + 0 + 1 (retenue) = 10 (0, retenue de 1)
• Colonne 4 :
  0 + 0 + 1 (retenue) = 1

     0101
  +  0011
  --------
     1000

Le résultat est 1000 en binaire (8 en décimal).

Exemple 3 : Addition de 111 et 1

Additionnons 111 (7 en décimal) et 1 (1 en décimal).

     0111
  +  0001
  --------

Addition de droite à gauche :

• Colonne 1 :
  1 + 1 = 10 (0, retenue de 1)
• Colonne 2 :
  1 + 0 + 1 (retenue) = 10 (0, retenue de 1)
• Colonne 3 :
  1 + 0 + 1 (retenue) = 10 (0, retenue de 1)
• Colonne 4 :
  0 + 0 + 1 (retenue) = 1

     0111
  +  0001
  --------
    10000

Le résultat est 10000 en binaire (8 en décimal).

Résumé des règles de base de l’addition binaire

1. 0 + 0 = 0
2. 0 + 1 = 1
3. 1 + 0 = 1
4. 1 + 1 = 10 (0, retenue de 1)

Lorsque vous additionnez plus de deux bits, n’oubliez pas d’ajouter la retenue à la colonne suivante.

Comment soustraire deux nombres binaires ?

La soustraction binaire est similaire à la soustraction décimale, mais elle suit des règles spécifiques pour le système binaire. Si vous comprenez comment fonctionne la soustraction en base 10 (avec emprunts si nécessaire), la soustraction binaire sera également facile à comprendre.

Règles de base de la soustraction binaire

Voici les règles de soustraction pour deux bits :

• 0 – 0 = 0
• 1 – 0 = 1
• 1 – 1 = 0
• 0 – 1 = 1 (avec un emprunt de la colonne suivante)

La règle clé est que lorsque vous devez soustraire 1 de 0 (0 – 1), vous devez emprunter 1 du bit de gauche.

Étapes de la soustraction binaire

1. Soustraire les bits de droite à gauche en appliquant les règles ci-dessus.
2. Emprunter si nécessaire : Si vous devez soustraire 1 de 0, empruntez 1 de la colonne de gauche (comme en soustraction décimale).
3. Propager l’emprunt vers la gauche si nécessaire.

Exemple 1 : Soustraction de 1101 – 1011

Soustrayons 1101 (13 en décimal) et 1011 (11 en décimal).

   1101   (13 en décimal)
 - 1011   (11 en décimal)
  ------

Soustrayons bit par bit de droite à gauche :

• Colonne 1 (bits les plus à droite) :
  1 – 1 = 0
• Colonne 2 :
  0 – 1 = 1 (on emprunte 1 de la colonne de gauche)
• Colonne 3 :
  1 (emprunté) – 0 = 1
• Colonne 4 :
  1 – 1 = 0

   1101
 - 1011
  ------
    0010

Le résultat est 0010 en binaire, soit 2 en décimal.

Exemple 2 : Soustraction de 1001 – 0110

Soustrayons 1001 (9 en décimal) et 0110 (6 en décimal).

   1001   (9 en décimal)
 - 0110   (6 en décimal)
  ------

Soustrayons bit par bit de droite à gauche :

• Colonne 1 :
  1 – 0 = 1
• Colonne 2 :
  0 – 1 = 1 (on emprunte 1 de la colonne de gauche)
• Colonne 3 :
  0 – 1 = 1 (on emprunte de la colonne suivante)
• Colonne 4 :
  1 (emprunté) – 0 = 1

   1001
 - 0110
  ------
    0011

Le résultat est 0011 en binaire, soit 3 en décimal.

Exemple 3 : Soustraction de 1010 – 1001

Soustrayons 1010 (10 en décimal) et 1001 (9 en décimal).

   1010   (10 en décimal)
 - 1001   (9 en décimal)
  ------

Soustrayons bit par bit de droite à gauche :

• Colonne 1 :
  0 – 1 = 1 (on emprunte 1 de la colonne suivante)
• Colonne 2 :
  1 (emprunté) – 0 = 1
• Colonne 3 :
  0 – 0 = 0
• Colonne 4 :
  1 – 1 = 0

   1010
 - 1001
  ------
    0001

Le résultat est 0001 en binaire, soit 1 en décimal.

Emprunt dans la soustraction binaire

L’emprunt en soustraction binaire fonctionne comme dans la soustraction décimale :

1. Si vous devez soustraire 1 de 0 dans une colonne, vous empruntez un 1 du bit situé à gauche. Ce bit devient 0, et celui dans la colonne actuelle devient 10 (en binaire, 10 = 2 en décimal).
2. Vous effectuez alors la soustraction dans cette colonne avec ce nouveau 10.

Exemple d’emprunt

Soustrayons 1000 – 0111 :

   1000   (8 en décimal)
 - 0111   (7 en décimal)
  ------

Nous procédons de droite à gauche :

• Colonne 1 :
  0 – 1 = 1 (on emprunte 1 de la colonne suivante)
• Colonne 2 :
  0 – 1 = 1 (on emprunte à nouveau)
• Colonne 3 :
  0 – 1 = 1 (on emprunte encore)
• Colonne 4 :
  1 (emprunté) – 0 = 0

   1000
 - 0111
  ------
    0001

Le résultat est 0001 en binaire, soit 1 en décimal.

Résumé des étapes de la soustraction binaire

1. Soustrayez les bits de droite à gauche en suivant les règles de soustraction.
2. Empruntez si nécessaire : Si vous devez soustraire 1 de 0, empruntez 1 de la colonne de gauche.
3. Continuez jusqu’à ce que toutes les colonnes aient été soustraites.

En suivant ces règles et exemples, vous pourrez facilement soustraire deux nombres binaires.

Comment effectuer une multiplication binaire ?

La multiplication binaire fonctionne de manière similaire à la multiplication décimale, mais avec seulement deux chiffres : 0 et 1. Les règles de base sont simples, car vous ne multipliez que par 0 ou 1. Cela rend la multiplication binaire plus facile à exécuter, mais le processus peut impliquer des décalages et des additions, comme dans la multiplication longue en décimal.

Règles de base de la multiplication binaire

Voici les règles pour multiplier deux bits :

• 0 × 0 = 0
• 0 × 1 = 0
• 1 × 0 = 0
• 1 × 1 = 1

Étapes pour effectuer une multiplication binaire

1. Multiplier chaque bit du multiplicateur (le nombre en bas) par chaque bit du multiplicande (le nombre en haut), ligne par ligne.
2. Décaler chaque ligne vers la gauche (comme en multiplication décimale) pour chaque étape du calcul.
3. Ajouter les résultats partiels obtenus à chaque étape.

Exemple 1 : Multiplication de 101 par 11

Prenons 101 (5 en décimal) et 11 (3 en décimal).

   101   (5 en décimal)
  ×  11   (3 en décimal)
  ------

Étape 1 : Multiplier chaque bit du multiplicande (101) par le bit de droite du multiplicateur (1).

   101
  ×   1   (multiplicateur, bit de droite)
  ------
   101    (premier produit partiel)

Étape 2 : Multiplier chaque bit du multiplicande (101) par le bit de gauche du multiplicateur (1), et décaler d’une position vers la gauche.

   101
  ×  1    (multiplicateur, bit de gauche, décalage vers la gauche)
  ------
  1010    (deuxième produit partiel, décalé d'une position à gauche)

Étape 3 : Ajouter les deux produits partiels :

   101
 + 1010
  ------
  1111

Le résultat est 1111 en binaire, soit 15 en décimal. Ainsi, 101 × 11 = 1111.

Exemple 2 : Multiplication de 110 par 101

Multiplions 110 (6 en décimal) par 101 (5 en décimal).

   110   (6 en décimal)
  × 101   (5 en décimal)
  ------

Étape 1 : Multiplier chaque bit du multiplicande (110) par le bit de droite du multiplicateur (1).

   110
  ×   1   (multiplicateur, bit de droite)
  ------
   110    (premier produit partiel)

Étape 2 : Multiplier chaque bit du multiplicande (110) par le bit central du multiplicateur (0). Comme 0 × tout nombre est 0, le produit partiel est 0, mais on le décale d’une position vers la gauche.

   110
  ×  0    (multiplicateur, bit central, décalage d'une position)
  ------
    000   (produit partiel, tout est 0)

Étape 3 : Multiplier chaque bit du multiplicande (110) par le bit de gauche du multiplicateur (1), et décaler de deux positions vers la gauche.

   110
  × 1     (multiplicateur, bit de gauche, décalage de deux positions)
  ------
  11000   (troisième produit partiel)

Étape 4 : Ajouter les trois produits partiels :

   110
 + 000
 +11000
  ------
  11110

Le résultat est 11110 en binaire, soit 30 en décimal. Ainsi, 110 × 101 = 11110.

Exemple 3 : Multiplication de 10 par 11

Multiplions 10 (2 en décimal) par 11 (3 en décimal).

   10    (2 en décimal)
  × 11    (3 en décimal)
  ------

Étape 1 : Multiplier chaque bit du multiplicande (10) par le bit de droite du multiplicateur (1).

   10
  ×  1
  ----
   10    (premier produit partiel)

Étape 2 : Multiplier chaque bit du multiplicande (10) par le bit de gauche du multiplicateur (1), et décaler d’une position vers la gauche.

   10
  × 1     (décalé d'une position vers la gauche)
  ----
  100    (deuxième produit partiel)

Étape 3 : Ajouter les deux produits partiels :

   10
 +100
  ----
  110

Le résultat est 110 en binaire, soit 6 en décimal. Ainsi, 10 × 11 = 110.

Résumé des étapes de la multiplication binaire

1. Multiplier chaque bit du multiplicateur par les bits du multiplicande, un à un.
2. Décaler vers la gauche pour chaque ligne de multiplication (comme en multiplication décimale).
3. Ajouter les produits partiels pour obtenir le résultat final.

Comparaison avec la multiplication décimale

La multiplication binaire est conceptuellement similaire à la multiplication longue en base 10. Toutefois, les multiplications sont plus simples car il n’y a que deux possibilités (0 ou 1), et tout se réduit à des décalages et des additions.

Avec ces règles et exemples, vous avez maintenant une bonne compréhension de la multiplication binaire.