L’arithmétique binaire signée est la manipulation de nombres en binaire qui peuvent être à la fois positifs et négatifs. Pour représenter des nombres négatifs en binaire, on utilise principalement la méthode du complément à deux. L’arithmétique binaire signée permet d’effectuer des opérations comme l’addition, la soustraction, la multiplication et la division en tenant compte du signe des nombres, et elle est essentielle pour le fonctionnement des processeurs et des calculs numériques.
En utilisant des représentations sur un nombre fixe de bits, comme 8 bits ou 16 bits, on peut effectuer des calculs sur des nombres signés en binaire.
Le complément à deux est la méthode la plus courante pour représenter les nombres signés. Voici comment fonctionne cette méthode :
00000101
11111010
11111011
Ainsi, -5 est représenté par 11111011
en complément à deux sur 8 bits.
Dans une représentation signée en complément à deux, la plage des nombres que l’on peut représenter dépend du nombre de bits. Par exemple, avec 8 bits, la plage de valeurs est :
Plage pour 8 bits |
---|
Nombres positifs : 00000000 (0) à 01111111 (127) |
Nombres négatifs : 10000000 (-128) à 11111111 (-1) |
Avec n bits, la plage de nombres signés est donc de -2ⁿ⁻¹ à 2ⁿ⁻¹ – 1.
Les opérations arithmétiques avec des nombres signés fonctionnent de la même manière qu’avec des nombres non signés, mais le système en complément à deux garantit que les calculs se comportent correctement, y compris pour les nombres négatifs.
L’addition en binaire signée fonctionne de la même manière que l’addition binaire non signée, et l’utilisation du complément à deux permet de gérer automatiquement les nombres négatifs.
00000101
00000011
11111101
00000101 (+5)
+ 11111101 (-3)
----------
00000010 (+2)
Le résultat est 00000010, soit +2, ce qui est correct.
La soustraction peut être traitée comme une addition en binaire signée en utilisant le complément à deux.
00001001
00000110
11111010
00001001 (+9)
+ 11111010 (-6)
----------
00000011 (+3)
Le résultat est 00000011, soit +3, ce qui est correct.
Lorsque le résultat d’une addition ou d’une soustraction dépasse la plage de valeurs possibles pour un nombre signé, il y a un dépassement (ou overflow).
Additionner +120 et +10 en complément à deux sur 8 bits :
01111000
00001010
01111000 (+120)
+ 00001010 (+10)
----------
10000010 (-126 en binaire signé)
Le résultat est 10000010, soit -126, ce qui est incorrect car il y a eu un dépassement. L’overflow se produit ici car la somme dépasse la plage maximale de +127 en 8 bits.
00000000
.L’arithmétique binaire signée est au cœur du fonctionnement des processeurs pour manipuler des nombres à la fois positifs et négatifs. La représentation en complément à deux est largement utilisée car elle permet de simplifier les opérations arithmétiques tout en maintenant une bonne gestion du signe. Les règles de calcul binaire signées restent similaires à celles du calcul binaire non signé, avec l’avantage que les résultats se comportent correctement même avec des nombres négatifs, à condition de surveiller les dépassements possibles.
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