Statistique

Analyse de Régression : Corrélation vs Régression

L’analyse régressive, en particulier la régression linéaire, est une méthode statistique utilisée pour étudier la relation entre une variable dépendante (ou variable à expliquer) et une ou plusieurs variables indépendantes (ou explicatives). L’objectif est de modéliser la relation entre ces variables et de prédire les valeurs de la variable dépendante en fonction des valeurs des variables indépendantes.

Voici un exemple d’analyse régressive pour mieux comprendre le processus :

Exemple : Régression Linéaire Simple

Contexte :

Une entreprise souhaite analyser la relation entre les dépenses en marketing (en milliers d’euros) et le chiffre d’affaires (en milliers d’euros). Elle a collecté des données sur 10 mois. L’objectif est de savoir dans quelle mesure les dépenses en marketing influencent le chiffre d’affaires et de prédire le chiffre d’affaires futur en fonction de ces dépenses.

Données :

Mois	Dépenses en marketing (X)	Chiffre d’affaires (Y)
1	10	25
2	15	40
3	12	32
4	20	50
5	25	60
6	30	72
7	22	55
8	35	80
9	40	90
10	28	65

1. Formulation du Modèle de Régression Linéaire

Le modèle de régression linéaire simple s’écrit sous la forme :

Où :

( Y ) : Variable dépendante (chiffre d’affaires)
( X ) : Variable indépendante (dépenses en marketing)
( beta_0 ) : Ordonnée à l’origine (ou intercept), c’est-à-dire le chiffre d’affaires prévu lorsque ( X = 0 )
( beta_1 ) : Coefficient de régression, indiquant l’impact d’une variation d’une unité de ( X ) sur ( Y )
( epsilon ) : Terme d’erreur, représentant la différence entre la valeur observée et la valeur prédite.

2. Estimation des Coefficients

L’estimation des coefficients (\beta_0) et (\beta_1) se fait généralement à l’aide de la méthode des moindres carrés ordinaires (OLS). L’objectif est de minimiser la somme des carrés des écarts entre les valeurs observées et les valeurs prédites.

Après calcul (ou en utilisant un logiciel comme Excel, Python, ou R), les résultats de la régression sont :

(beta_0) (Intercept) = 10
(beta_1) (Coefficient de régression) = 2

Cela donne l’équation de régression suivante :

[ Y = 10 + 2X ]

3. Interprétation des Résultats

Intercept ((beta_0 = 10)) : Si les dépenses en marketing sont nulles ((X = 0)), le modèle prédit un chiffre d’affaires de 10 000 euros. Cela représente le chiffre d’affaires de base en l’absence de dépenses en marketing.
Coefficient de régression ((beta_1 = 2)) : Chaque fois que l’entreprise augmente ses dépenses en marketing de 1 000 euros, le chiffre d’affaires augmente de 2 000 euros. Cela montre l’effet positif et direct des dépenses en marketing sur le chiffre d’affaires.

4. Prédiction

Avec cette équation de régression, nous pouvons prédire le chiffre d’affaires pour un niveau donné de dépenses en marketing.

Exemple de prédiction : Si l’entreprise décide de dépenser 50 000 euros en marketing, le chiffre d’affaires prévu est :

[ Y = 10 + 2(50) = 10 + 100 = 110 ]

Donc, si l’entreprise dépense 50 000 euros en marketing, le modèle prévoit un chiffre d’affaires de 110 000 euros.

5. Évaluation du Modèle

L’évaluation du modèle de régression peut se faire à l’aide de plusieurs métriques, dont le coefficient de détermination (R^2), qui mesure la proportion de la variance de (Y) expliquée par (X).

(R^2) : Supposons que le (R^2) obtenu soit de 0,95. Cela signifie que 95 % de la variation du chiffre d’affaires peut être expliquée par les dépenses en marketing. Le modèle est donc très fiable pour prédire le chiffre d’affaires en fonction des dépenses en marketing.

L’analyse régressive montre une relation positive entre les dépenses en marketing et le chiffre d’affaires. Grâce à l’équation de régression (Y = 10 + 2X), l’entreprise peut non seulement comprendre l’impact des dépenses sur les ventes, mais aussi effectuer des prédictions pour de futurs niveaux de dépenses. Cependant, il est important de noter que cette analyse repose sur les données passées et que des facteurs non pris en compte dans le modèle peuvent influencer les résultats.

Cet exemple d’analyse régressive linéaire simple montre comment utiliser la régression pour modéliser une relation entre deux variables quantitatives et pour faire des prévisions basées sur les données disponibles.

Comment choisir entre corrélation et régression ?

Le choix entre la corrélation et la régression dépend de l’objectif de votre analyse et de la nature des relations que vous souhaitez étudier entre les variables. Bien que la corrélation et la régression soient toutes deux des techniques statistiques permettant d’analyser des relations entre variables, elles répondent à des questions différentes et sont utilisées dans des contextes distincts.

Voici les principales différences et les critères pour choisir entre ces deux méthodes :

1. Objectif de l’Analyse

Corrélation :
Objectif : La corrélation mesure la force et la direction de la relation entre deux variables. Elle indique dans quelle mesure les variations de deux variables sont associées, mais elle ne cherche pas à expliquer ou à prédire une variable en fonction de l’autre.
Question : Est-ce que ces deux variables varient ensemble ? Si oui, dans quelle direction (positive ou négative) et avec quelle intensité ? Exemple : Vous souhaitez savoir s’il existe une association entre la température extérieure et les ventes de glaces. La corrélation peut vous indiquer si ces deux variables augmentent ou diminuent ensemble, mais elle ne peut pas expliquer pourquoi ni quantifier l’effet précis de la température sur les ventes.
Régression :
Objectif : La régression, en particulier la régression linéaire, cherche à modéliser la relation entre une variable dépendante et une ou plusieurs variables indépendantes pour prédire la valeur de la variable dépendante en fonction des valeurs des variables indépendantes.
Question : Quelle est la relation causale ou prédictive entre ces variables ? Peut-on utiliser une variable pour prédire une autre ? Exemple : Si vous voulez prédire les ventes de glaces en fonction de la température extérieure, la régression linéaire vous permettra de modéliser cette relation et de prédire les ventes pour une température donnée.

2. Nature de la Relation

Corrélation :
Relation bidirectionnelle : La corrélation mesure l’intensité et la direction de la relation symétrique entre deux variables, sans distinguer entre variable dépendante et indépendante. Cela signifie que la corrélation entre ( X ) et ( Y ) est la même que celle entre ( Y ) et ( X ). Elle ne vous dit pas si ( X ) cause ( Y ), ou si ( Y ) cause ( X ), ou s’il y a une variable tierce non observée influençant les deux. Exemple : Si vous mesurez la corrélation entre la température extérieure et les ventes de glaces, une forte corrélation ne signifie pas que l’une cause nécessairement l’autre, mais seulement qu’elles varient ensemble.
Régression :
Relation directionnelle (causale) : La régression cherche à établir une relation causale ou prédictive entre une variable dépendante (ou à expliquer) et une ou plusieurs variables indépendantes (ou explicatives). La régression suppose que les variations de la variable dépendante ( Y ) sont expliquées, en partie, par les variations de la variable indépendante ( X ). La relation entre ( Y ) et ( X ) est asymétrique. Exemple : Vous pouvez utiliser la régression pour modéliser comment une augmentation d’un degré de la température extérieure pourrait augmenter les ventes de glaces. Ici, on suppose que ( X ) (la température) influence ( Y ) (les ventes).

3. Utilisation Pratique

Corrélation :
Mesure de l’association : La corrélation est principalement utilisée pour mesurer l’association entre deux variables sans tenter de prédire ou de modéliser une relation causale. L’outil le plus couramment utilisé est le coefficient de corrélation de Pearson (valeurs entre -1 et +1).
Analyse exploratoire : C’est une technique couramment utilisée pour explorer les données et identifier rapidement des relations potentielles entre les variables avant de passer à une analyse plus approfondie (comme la régression). Exemple : Si vous avez un jeu de données avec plusieurs variables (ex. : âge, revenu, niveau d’éducation), vous pouvez utiliser la corrélation pour voir s’il existe des associations entre ces variables avant de décider d’approfondir avec la régression.
Régression :
Modélisation et prédiction : La régression est utilisée lorsqu’on souhaite modéliser la relation entre une variable dépendante et une ou plusieurs variables indépendantes, et potentiellement prédire des valeurs futures de la variable dépendante.
Évaluation de l’effet d’une variable : La régression permet également de quantifier l’effet d’une variable sur une autre (via les coefficients de régression) et d’évaluer la qualité du modèle (par exemple avec le coefficient de détermination (R^2)). Exemple : Si vous voulez modéliser l’effet du revenu et de l’âge sur les dépenses de consommation d’un individu, la régression multiple peut vous donner une équation qui prédit les dépenses en fonction du revenu et de l’âge.

4. Choix de la Méthode Selon l’Objectif

Utilisez la corrélation si :
Vous voulez simplement mesurer la force de l’association entre deux variables.
Vous êtes dans une phase exploratoire où vous voulez identifier des relations potentielles entre les variables.
Vous n’avez pas besoin de modéliser une relation causale.
Utilisez la régression si :
Vous voulez modéliser ou prédire la relation entre une variable dépendante et une ou plusieurs variables indépendantes.
Vous souhaitez quantifier l’effet d’une ou plusieurs variables indépendantes sur la variable dépendante.
Vous êtes intéressé par une relation causale ou prédictive entre les variables.

Exemples pour illustrer le choix

Exemple 1 : Corrélation

Vous voulez savoir s’il existe une association entre l’âge d’une personne et son niveau de satisfaction au travail. Dans ce cas, vous utiliserez la corrélation pour mesurer la force et la direction de cette relation (positive ou négative) sans essayer de prédire la satisfaction au travail en fonction de l’âge.

Exemple 2 : Régression

Vous êtes un responsable marketing et vous voulez comprendre comment les dépenses en publicité (variable indépendante) influencent les ventes (variable dépendante). Vous utiliserez une régression linéaire pour modéliser la relation entre les deux et faire des prédictions sur les ventes futures en fonction des dépenses publicitaires.

Résumé : Corrélation vs Régression

Critère	Corrélation	Régression
Objectif	Mesurer l’association entre deux variables	Modéliser la relation entre une variable dépendante et indépendante(s)
Relation	Symétrique (bidirectionnelle)	Asymétrique (causale ou prédictive)
Direction de la relation	Pas de distinction entre variable dépendante et indépendante	Variable indépendante influence la variable dépendante
Utilisation	Mesurer l’intensité de la relation	Modéliser, prédire, ou quantifier l’effet d’une variable
Exemple	Corrélation entre température et ventes de glaces	Prédire les ventes en fonction des dépenses en publicité

En conclusion, le choix entre corrélation et régression dépend de l’objectif de votre analyse : si vous souhaitez simplement mesurer une relation, la corrélation est la solution, mais si vous voulez modéliser une relation pour faire des prédictions ou évaluer des effets, alors la régression est plus appropriée.