Le Quiz

Test de Logique Mathématique

Voici un test de logique mathématique adapté pour le recrutement, avec des questions visant à évaluer les compétences analytiques et logiques des candidats. Les réponses sont rédigées en format code pour une correction automatique ou rapide.

Test de Logique Mathématique

Partie 1 : Résolution de Problèmes

Question 1 :

Un train part de la ville A à 8h00 à une vitesse de 60 km/h. Un autre train part de la ville B, située à 120 km de la ville A, à 9h00 à une vitesse de 80 km/h. À quelle heure les deux trains se croiseront-ils ?

Réponse : 
- À 9h00, le premier train aura parcouru : 60 km.
- Les trains se rapprochent à une vitesse combinée de : 60 + 80 = 140 km/h.
- Distance restante à 9h00 : 120 km - 60 km = 60 km.
- Temps pour que les deux trains se croisent : 60 km / 140 km/h = 0,4286 heures, soit environ 25,7 minutes.

Ils se croiseront donc à environ **9h25**.

Partie 2 : Logique et Raisonnement

Question 2 :

Un sac contient 6 billes rouges, 5 billes bleues et 4 billes vertes. Si vous tirez deux billes au hasard, quelle est la probabilité qu’elles soient toutes les deux rouges ?

Réponse :
- Nombre total de combinaisons possibles pour deux billes : C(15, 2) = (15 * 14) / 2 = 105.
- Combinaisons de deux billes rouges : C(6, 2) = (6 * 5) / 2 = 15.
- Probabilité que les deux billes soient rouges = 15 / 105 = 1 / 7.

La probabilité est donc **1/7**.

Partie 3 : Séries Numériques

Question 3 :

Trouvez le nombre suivant dans la série : 2, 6, 12, 20, 30, ?

Réponse :
Différences entre les nombres : 6 - 2 = 4, 12 - 6 = 6, 20 - 12 = 8, 30 - 20 = 10.
Les différences augmentent de 2 à chaque fois.
Prochaine différence : 10 + 2 = 12.
Prochain nombre dans la série : 30 + 12 = **42**.

Question 4 :

Quel est le nombre manquant dans la série : 5, 11, 23, 47, ?

Réponse :
Les différences entre les nombres doublent : 11 - 5 = 6, 23 - 11 = 12, 47 - 23 = 24.
Prochaine différence : 24 * 2 = 48.
Le prochain nombre est donc : 47 + 48 = **95**.

Partie 4 : Résolution d’Équations

Question 5 :

Résolvez l’équation suivante : ( 3x + 5 = 20 ).

Réponse : 
- 3x + 5 = 20
- 3x = 20 - 5
- 3x = 15
- x = 15 / 3 = **5**.

Question 6 :

Résolvez le système d’équations suivant :
( 2x + 3y = 12 )
( x – y = 3 )

Réponse : 
- De la deuxième équation : \( x = y + 3 \).
- Substituer dans la première équation : \( 2(y + 3) + 3y = 12 \).
- \( 2y + 6 + 3y = 12 \), donc \( 5y + 6 = 12 \).
- \( 5y = 12 - 6 = 6 \), donc \( y = 6 / 5 = 1,2 \).
- Substituer dans \( x = y + 3 \) : \( x = 1,2 + 3 = 4,2 \).

La solution est donc \( x = 4,2 \) et \( y = 1,2 \).

Partie 5 : Pourcentages et Proportions

Question 7 :

Si une chemise coûte 80 € après une réduction de 20 %, quel était son prix d’origine ?

Réponse :
- Soit \( P \) le prix d'origine.
- Après une réduction de 20 %, le prix est de \( P \times (1 - 0,20) = 0,80P \).
- Donc, \( 0,80P = 80 \), ce qui donne \( P = 80 / 0,80 = 100 \).

Le prix d'origine était donc **100 €**.

Question 8 :

Une entreprise voit ses ventes augmenter de 15 % au premier semestre, puis diminuer de 10 % au second semestre. Si les ventes initiales étaient de 10 000 €, quelles sont les ventes à la fin de l’année ?

Réponse :
- Après une augmentation de 15 %, les ventes sont de \( 10 000 \times (1 + 0,15) = 11 500 € \).
- Après une diminution de 10 %, les ventes sont de \( 11 500 \times (1 - 0,10) = 11 500 \times 0,90 = 10 350 € \).

Les ventes à la fin de l'année sont donc de **10 350 €**.

Partie 6 : Problèmes Logiques

Question 9 :

Un homme a 3 fils. Le produit de leurs âges est 36. La somme de leurs âges est égale au numéro de la maison voisine. Si l’aîné est plus grand que ses frères, quels sont leurs âges ?

Réponse :
- Les combinaisons possibles pour le produit 36 : (1, 1, 36), (1, 2, 18), (1, 3, 12), (1, 4, 9), (2, 2, 9), (2, 3, 6), (3, 3, 4).
- La somme de leurs âges doit être ambiguë car il faut plus d’informations : La seule combinaison possible qui pourrait créer une confusion est (2, 2, 9), car 2 + 2 + 9 = 13 et (1, 6, 6) = 13.
- Si l’aîné est plus grand que ses frères, la solution est (2, 2, **9**).

Question 10 :

Dans une famille, il y a deux parents et deux enfants. L’âge du père est le double de celui de l’aîné. Dans 10 ans, l’âge du père sera l’addition des âges des deux enfants à ce moment-là. Quels sont les âges actuels du père et de l’aîné ?

Réponse :
- Soit \( P \) l’âge du père et \( A \) l’âge de l’aîné.
- Selon la première condition : \( P = 2A \).
- Dans 10 ans, les âges seront \( P + 10 \), \( A + 10 \) et \( (A - k) + 10 \) pour le cadet, où \( k \) est la différence d’âge entre les enfants.
- La deuxième condition devient : \( P + 10 = (A + 10) + ((A - k) + 10) \).
- Simplifier : \( P + 10 = 2A + 20 - k \), donc \( P = 2A - k + 10 \).
- En combinant avec \( P = 2A \), la seule solution logique est que \( k = 0 \), donc les deux enfants sont jumeaux.
- Âge du père : **40 ans**, âge de l’aîné (et du cadet) : **20 ans**.

Ce Test de Logique Mathématique explore diverses compétences en logique, résolution d’équations, calcul de probabilités et raisonnement analytique. Les réponses en format code permettent une correction automatisée et rapide.

Voici un exemple de problème logique classique :

Problème :

Trois amis, Alice, Bob et Charlie, veulent déterminer chacun de leur côté un nombre mystère, en se basant sur les indices suivants :

Le nombre est un entier positif.
Alice sait que le nombre est inférieur à 100.
Bob sait que le nombre est divisible par 4.
Charlie sait que le nombre est un carré parfait.

Après avoir comparé leurs informations, voici leur conversation :

Alice dit : “Je ne sais pas quel est le nombre.”
Bob dit : “Je ne sais pas non plus.”
Charlie dit : “Moi non plus, je ne sais pas, mais je sais que ni Alice ni Bob ne savent.”
Après cette conversation, Alice, Bob et Charlie découvrent tous quel est le nombre.

Question :

Quel est le nombre mystère ?

Solution :

Réponse : Le nombre mystère est **64**.

Explication :
1. Le nombre est inférieur à 100 (indice d'Alice).
2. Il est divisible par 4 (indice de Bob).
3. Il est un carré parfait (indice de Charlie).

La liste des nombres qui sont des carrés parfaits et inférieurs à 100 est : 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81.

Parmi eux, seuls les nombres divisibles par 4 sont : 4, 16, 36, 64.

Bob sait que le nombre est divisible par 4, mais ne peut pas encore le deviner précisément, car il reste plusieurs options (4, 16, 36, 64).

Cependant, lorsque Charlie dit que ni Alice ni Bob ne savent, cela élimine les nombres évidents comme 4 (trop petit et facile à deviner). Le nombre doit donc être un peu plus élevé.

Finalement, après avoir échangé leurs informations, ils concluent que le seul nombre répondant à tous les critères est 64, car il est divisible par 4, inférieur à 100, et un carré parfait.

Ce type de problème logique nécessite de croiser plusieurs informations données par différents participants pour parvenir à une solution unique.

Bien sûr ! Voici un autre problème logique classique :

Problème :

Trois personnes, Adam, Béatrice, et Clara, sont assises en ligne, de telle sorte que Béatrice peut voir Adam, et Clara peut voir Adam et Béatrice. Ils portent chacun un chapeau, qui peut être soit blanc soit noir. Aucun d’entre eux ne sait de quelle couleur est son propre chapeau, mais ils peuvent voir les chapeaux des autres.

Un juge annonce qu’au moins un des trois porte un chapeau blanc. Ensuite, le juge leur demande, dans l’ordre suivant, si chacun d’eux sait de quelle couleur est son chapeau :

Clara, qui peut voir Adam et Béatrice, dit : “Je ne sais pas.”
Béatrice, qui peut voir Adam mais pas Clara, dit : “Je ne sais pas.”
Adam, qui ne peut voir personne, dit : “Je sais.”

Question :

De quelle couleur est le chapeau d’Adam, de Béatrice, et de Clara ?

Solution :

Réponse : Adam porte un chapeau **blanc**, Béatrice porte un chapeau **blanc**, et Clara porte un chapeau **noir**.

Explication :

1. **Clara** voit les chapeaux d'Adam et de Béatrice. Si elle avait vu deux chapeaux noirs, elle aurait su immédiatement que son propre chapeau était blanc, car le juge a dit qu'au moins un des trois portait un chapeau blanc. Mais elle dit "Je ne sais pas", donc il y a au moins un chapeau blanc parmi Adam et Béatrice.

2. **Béatrice** sait que Clara ne sait pas la couleur de son chapeau. Si Béatrice voyait un chapeau noir sur la tête d'Adam, elle en conclurait que son propre chapeau est blanc, car Clara aurait dû voir deux chapeaux noirs et savoir immédiatement que son chapeau était blanc. Mais Béatrice dit "Je ne sais pas", donc Adam doit avoir un chapeau blanc.

3. **Adam** entend les réponses de Clara et de Béatrice. Sachant que Clara et Béatrice ne savent pas, il en déduit que son propre chapeau doit être blanc. Si son chapeau était noir, Béatrice aurait su que son propre chapeau était blanc (car Adam porterait un chapeau noir), et aurait donc donné la bonne réponse.

Ce genre de problème teste la capacité à raisonner sur ce que les autres personnages peuvent ou ne peuvent pas savoir, et à tirer des conclusions logiques en fonction des informations données et des déclarations des participants.

Absolument ! Voici un autre problème logique célèbre, souvent appelé Le problème des trois portes, ou Le problème de Monty Hall.

Problème :

Vous participez à un jeu télévisé. Il y a trois portes devant vous : derrière l’une des portes se trouve une voiture, et derrière les deux autres se trouvent des chèvres. Le but du jeu est de choisir la porte qui cache la voiture.

Le jeu se déroule comme suit :

Vous choisissez d’abord une porte (sans savoir ce qu’il y a derrière).
Le présentateur, qui sait ce qu’il y a derrière chaque porte, ouvre l’une des deux autres portes pour révéler une chèvre.
Ensuite, le présentateur vous donne la possibilité de changer de porte ou de garder votre choix initial.

Question :

Devriez-vous changer de porte ou garder votre choix initial ? Expliquez votre raisonnement.

Solution :

Réponse : Vous devriez **changer de porte**. 

Explication :

1. Initialement, lorsque vous choisissez une porte, vous avez 1 chance sur 3 (soit 33,33 %) de choisir la porte avec la voiture et 2 chances sur 3 (soit 66,67 %) de choisir une porte avec une chèvre.

2. Après que le présentateur ouvre une porte (montrant une chèvre), si vous gardez votre choix initial, vous avez toujours 1 chance sur 3 de gagner la voiture, car vous n'avez pas reçu d'informations nouvelles sur votre porte.

3. En revanche, si vous changez de porte, votre probabilité de gagner augmente à 2 chances sur 3 (66,67 %), car vous "bénéficiez" des deux portes que vous n'aviez pas choisies initialement. Le présentateur vous a éliminé une mauvaise porte, mais la probabilité que vous ayez choisi la bonne dès le début reste la même (1/3). Donc, il est dans votre intérêt de changer, car la porte restante a une probabilité plus élevée d'avoir la voiture (2/3).

Autre Problème Logique : Les trois interrupteurs

Problème :

Vous êtes dans une pièce fermée qui contient trois interrupteurs. Chaque interrupteur contrôle une ampoule située dans une autre pièce. Vous ne pouvez pas voir les ampoules depuis la pièce où se trouvent les interrupteurs, et vous n’avez qu’une seule chance d’entrer dans la pièce des ampoules. Votre tâche est de déterminer quel interrupteur correspond à quelle ampoule.

Question :

Comment pouvez-vous identifier quel interrupteur contrôle quelle ampoule en entrant dans la pièce des ampoules une seule fois ?

Solution :

Réponse : Voici la méthode pour identifier quel interrupteur correspond à quelle ampoule :

1. Allumez le **premier interrupteur** et laissez-le allumé pendant quelques minutes.
2. Éteignez ensuite le **premier interrupteur** et allumez le **deuxième interrupteur**.
3. Allez maintenant dans la pièce des ampoules.

Voici ce que vous trouverez :
- L'ampoule qui est **allumée** correspond au **deuxième interrupteur** (celui qui est encore allumé).
- L'ampoule qui est **éteinte mais chaude** correspond au **premier interrupteur** (celui que vous avez éteint après l'avoir laissé allumé quelques minutes).
- L'ampoule qui est **éteinte et froide** correspond au **troisième interrupteur** (celui que vous n'avez jamais allumé).

Problème Logique : Les deux gardiens

Problème :

Vous êtes devant deux portes, chacune gardée par un gardien. Une porte mène à la liberté, l’autre mène à la mort. Vous savez que l’un des gardiens ment toujours et que l’autre dit toujours la vérité, mais vous ne savez pas lequel est lequel.

Vous avez le droit de poser une seule question à l’un des deux gardiens pour savoir quelle porte mène à la liberté.

Question :

Quelle question devez-vous poser pour garantir que vous choisirez la bonne porte ?

Solution :

Réponse : La question à poser est : **"Si je demandais à l'autre gardien quelle porte mène à la liberté, que me dirait-il ?"**

Explication :
- Si vous posez la question au gardien qui dit la vérité, il vous dira ce que l'autre gardien (qui ment) vous dirait. Le gardien menteur vous dirait la porte qui mène à la mort, donc le gardien qui dit la vérité vous indiquera cette porte.
- Si vous posez la question au gardien menteur, il vous mentira sur ce que dirait le gardien honnête. Le gardien honnête vous dirait la porte qui mène à la liberté, mais le menteur va inverser la réponse et vous indiquer la porte de la mort.

Dans les deux cas, la réponse obtenue est la porte qui mène à la mort, donc vous devez choisir **l'autre porte** pour aller vers la liberté.

Ces problèmes de logique sont conçus pour faire appel à des raisonnements analytiques et à la capacité de déduction. Ils sont souvent utilisés dans des contextes de recrutement pour évaluer les compétences de résolution de problèmes des candidats.