Série d’Exercices Corrigés sur la Capabilité d’un Processus de Production

Voici une série d’exercices corrigés sur la capabilité d’un processus de production. Ces exercices vous permettront de mieux comprendre les concepts de capabilité et de pratiquer le calcul des indices Cp et Cpk.

Exercice 1 : Calcul de Cp et Cpk d’un processus de fabrication

Contexte :

Une entreprise produit des pièces dont la longueur doit être comprise entre 20 mm et 30 mm. Après un échantillonnage, les statistiques du processus sont les suivantes :

Limite de Spécification Supérieure (USL) : 30 mm
Limite de Spécification Inférieure (LSL) : 20 mm
Moyenne du processus (μ) : 25 mm
Écart-type (σ) : 1 mm

Question :

Calculez l’indice Cp (capabilité potentiel).
Calculez l’indice Cpk (capabilité réel).
Interprétez les résultats.

Correction :

Calcul de Cp :

formule_cp: "Cp = (USL - LSL) / (6 * σ)"
calcul_cp:
  Cp = (30 - 20) / (6 * 1)
  Cp = 10 / 6
  resultat: Cp ≈ 1.67

Calcul de Cpk :

formule_cpk: "Cpk = min((USL - μ) / (3 * σ), (μ - LSL) / (3 * σ))"
calcul_cpk:
  etape_1: "Cpk = min((30 - 25) / (3 * 1), (25 - 20) / (3 * 1))"
  etape_2: "Cpk = min(5 / 3, 5 / 3)"
  resultat: Cpk ≈ 1.67

Interprétation :
Avec Cp = 1.67 et Cpk = 1.67, le processus est capable de respecter les spécifications, et il est bien centré par rapport aux limites. Ces valeurs sont supérieures à 1.33, ce qui est considéré comme une bonne capabilité.

Exercice 2 : Processus mal centré

Contexte :

Une entreprise fabrique des pièces dont la largeur doit être comprise entre 50 mm et 70 mm. Après plusieurs mesures, on obtient les informations suivantes :

USL : 70 mm
LSL : 50 mm
Moyenne (μ) : 60 mm
Écart-type (σ) : 3 mm

Question :

Calculez l’indice Cp.
Calculez l’indice Cpk.
Le processus est-il capable et bien centré ?

Correction :

Calcul de Cp :

formule_cp: "Cp = (USL - LSL) / (6 * σ)"
calcul_cp:
  Cp = (70 - 50) / (6 * 3)
  Cp = 20 / 18
  resultat: Cp ≈ 1.11

Calcul de Cpk :

formule_cpk: "Cpk = min((USL - μ) / (3 * σ), (μ - LSL) / (3 * σ))"
calcul_cpk:
  etape_1: "Cpk = min((70 - 60) / (3 * 3), (60 - 50) / (3 * 3))"
  etape_2: "Cpk = min(10 / 9, 10 / 9)"
  resultat: Cpk ≈ 1.11

Interprétation :
Avec Cp = 1.11 et Cpk = 1.11, le processus est capable mais légèrement en deçà de l’idéal de 1.33. Le processus est bien centré mais la variabilité est légèrement trop élevée.

Exercice 3 : Processus très dispersé

Contexte :

Dans un processus de fabrication, les pièces doivent avoir une longueur entre 100 mm et 120 mm. Voici les informations recueillies :

USL : 120 mm
LSL : 100 mm
Moyenne (μ) : 110 mm
Écart-type (σ) : 5 mm

Question :

Calculez l’indice Cp.
Calculez l’indice Cpk.
Est-ce que le processus est stable et capable de produire dans les tolérances ?

Correction :

Calcul de Cp :

formule_cp: "Cp = (USL - LSL) / (6 * σ)"
calcul_cp:
  Cp = (120 - 100) / (6 * 5)
  Cp = 20 / 30
  resultat: Cp ≈ 0.67

Calcul de Cpk :

formule_cpk: "Cpk = min((USL - μ) / (3 * σ), (μ - LSL) / (3 * σ))"
calcul_cpk:
  etape_1: "Cpk = min((120 - 110) / (3 * 5), (110 - 100) / (3 * 5))"
  etape_2: "Cpk = min(10 / 15, 10 / 15)"
  resultat: Cpk ≈ 0.67

Interprétation :
Avec Cp = 0.67 et Cpk = 0.67, le processus n’est pas capable de respecter les spécifications. Le processus est trop dispersé et la variabilité est trop élevée. Il faudrait réduire l’écart-type pour améliorer la capabilité du processus.

Exercice 4 : Processus mal centré

Contexte :

Une production de pièces nécessite que leur diamètre soit entre 30 mm et 40 mm. Après mesure, les informations sont les suivantes :

USL : 40 mm
LSL : 30 mm
Moyenne (μ) : 32 mm
Écart-type (σ) : 1 mm

Question :

Calculez Cp et Cpk.
Le processus est-il bien centré et capable ?

Correction :

Calcul de Cp :

formule_cp: "Cp = (USL - LSL) / (6 * σ)"
calcul_cp:
  Cp = (40 - 30) / (6 * 1)
  Cp = 10 / 6
  resultat: Cp ≈ 1.67

Calcul de Cpk :

formule_cpk: "Cpk = min((USL - μ) / (3 * σ), (μ - LSL) / (3 * σ))"
calcul_cpk:
  etape_1: "Cpk = min((40 - 32) / (3 * 1), (32 - 30) / (3 * 1))"
  etape_2: "Cpk = min(8 / 3, 2 / 3)"
  resultat: Cpk ≈ 0.67

Interprétation :
Le Cp = 1.67, donc le processus est potentiellement capable. Cependant, avec Cpk = 0.67, il est mal centré, ce qui montre que le processus est trop proche de la limite inférieure de spécification. Il serait nécessaire de recentrer le processus pour améliorer la capabilité.

Exercice 5 : Processus avec une faible variabilité

Contexte :

Une société doit produire des pièces ayant une longueur entre 90 mm et 110 mm. Voici les informations recueillies après analyse :

USL : 110 mm
LSL : 90 mm
Moyenne (μ) : 100 mm
Écart-type (σ) : 0.5 mm

Question :

Calculez les indices Cp et Cpk.
Le processus est-il capable ?

Correction :

Calcul de Cp :

formule_cp: "Cp = (USL - LSL) / (6 * σ)"
calcul_cp:
  Cp = (110 - 90) / (6 * 0.5)
  Cp = 20 / 3
  resultat: Cp ≈ 6.67

Calcul de Cpk :

formule_cpk: "Cpk = min((USL - μ) / (3 * σ), (μ - LSL) / (3 * σ))"
calcul_cpk:
  etape_1: "Cpk = min((110 - 100) / (3 * 0.5), (100 - 90) / (3 * 0.5))"
  etape_2: "Cpk = min(10 / 1.5, 10 / 1.5)"
  resultat: Cpk ≈ 6.67

Interprétation :
Le processus est extrêmement capable, avec des indices Cp et Cpk très élevés (6.67). Cela signifie que le processus est très stable et présente une faible variabilité.

Voici une série d’exercices portant sur la capabilité d’un processus de production, avec des cas particuliers qui mettent en lumière certaines situations complexes ou atypiques dans le calcul de la capabilité.

Exercice 1 : Processus asymétrique avec tolérance unilatérale

Contexte :

Une entreprise fabrique des axes de transmission qui ne doivent pas dépasser un diamètre de 50 mm. Aucune limite inférieure n’est spécifiée, car les diamètres légèrement inférieurs sont acceptables, tant qu’ils ne dépassent pas cette valeur maximale. Voici les données :

Limite de Spécification Supérieure (USL) : 50 mm
Moyenne du processus (μ) : 47 mm
Écart-type (σ) : 1 mm

Question :

Calculez l’indice Cp.
Calculez l’indice Cpk.
Le processus est-il capable de respecter la limite supérieure ?

Correction :

Calcul de Cp :
Puisqu’il n’y a pas de limite inférieure, nous considérons uniquement la limite supérieure pour le calcul de Cp.

formule_cp: "Cp = (USL - moyenne) / (3 * σ)"
calcul_cp:
  Cp = (50 - 47) / (3 * 1)
  Cp = 3 / 3
  resultat: Cp = 1

Calcul de Cpk :
Puisqu’il n’y a qu’une limite supérieure, nous utilisons seulement cette partie pour calculer Cpk.

formule_cpk: "Cpk = (USL - μ) / (3 * σ)"
calcul_cpk:
  etape_1: "Cpk = (50 - 47) / (3 * 1)"
  etape_2: "Cpk = 3 / 3"
  resultat: Cpk = 1

Interprétation :
Le processus est capable (Cpk = 1), mais il est juste à la limite. Il pourrait être nécessaire de recentrer le processus ou de diminuer la variabilité pour améliorer la performance.

Exercice 2 : Processus avec une limite inférieure stricte

Contexte :

Un fabricant de câbles produit des fils qui doivent avoir un diamètre d’au moins 5 mm pour garantir une sécurité optimale. Le dépassement de cette valeur est acceptable, mais un diamètre inférieur pourrait poser des problèmes de sécurité. Les données recueillies sont :

Limite de Spécification Inférieure (LSL) : 5 mm
Moyenne (μ) : 6 mm
Écart-type (σ) : 0.5 mm

Question :

Calculez l’indice Cp.
Calculez l’indice Cpk en tenant compte seulement de la limite inférieure.
Le processus est-il capable de respecter la limite de sécurité ?

Correction :

Calcul de Cp :
Ici, nous ne considérons que la limite inférieure pour le calcul de Cp, car la limite supérieure n’est pas pertinente dans ce contexte.

formule_cp: "Cp = (moyenne - LSL) / (3 * σ)"
calcul_cp:
  Cp = (6 - 5) / (3 * 0.5)
  Cp = 1 / 1.5
  resultat: Cp ≈ 0.67

Calcul de Cpk :

formule_cpk: "Cpk = (moyenne - LSL) / (3 * σ)"
calcul_cpk:
  etape_1: "Cpk = (6 - 5) / (3 * 0.5)"
  etape_2: "Cpk = 1 / 1.5"
  resultat: Cpk ≈ 0.67

Interprétation :
Avec Cpk ≈ 0.67, le processus n’est pas capable de garantir que le diamètre des fils est toujours supérieur à la limite de sécurité de 5 mm. Il est nécessaire d’améliorer le processus pour réduire la variabilité.

Exercice 3 : Processus avec tolérance asymétrique

Contexte :

Un fabricant de boissons embouteille des bouteilles de 500 ml. Le volume peut varier entre 490 ml et 510 ml. Toutefois, les sous-remplissages (moins de 500 ml) sont moins tolérés que les sur-remplissages. Les données de production sont :

LSL : 490 ml
USL : 510 ml
Moyenne (μ) : 502 ml
Écart-type (σ) : 3 ml

Question :

Calculez Cp et Cpk.
Quelle partie du processus pose problème, le sous-remplissage ou le sur-remplissage ?

Correction :

Calcul de Cp :

formule_cp: "Cp = (USL - LSL) / (6 * σ)"
calcul_cp:
  Cp = (510 - 490) / (6 * 3)
  Cp = 20 / 18
  resultat: Cp ≈ 1.11

Calcul de Cpk :

formule_cpk: "Cpk = min((USL - μ) / (3 * σ), (μ - LSL) / (3 * σ))"
calcul_cpk:
  etape_1: "Cpk = min((510 - 502) / (3 * 3), (502 - 490) / (3 * 3))"
  etape_2: "Cpk = min(8 / 9, 12 / 9)"
  resultat: Cpk ≈ 0.89

Interprétation :
Le Cpk ≈ 0.89 montre que le processus n’est pas entièrement capable. Le sous-remplissage (490 ml) pose plus de problème que le sur-remplissage, car la valeur la plus petite affecte davantage l’indice Cpk. Il serait nécessaire de recentrer le processus plus proche de 500 ml.

Exercice 4 : Processus avec variabilité excessive et tolérances très strictes

Contexte :

Une entreprise produit des composants électroniques dont la résistance doit être comprise entre 95 et 105 ohms. Cependant, les tolérances sont extrêmement strictes, et la variabilité est relativement élevée. Voici les informations recueillies :

USL : 105 ohms
LSL : 95 ohms
Moyenne (μ) : 100 ohms
Écart-type (σ) : 4 ohms

Question :

Calculez Cp et Cpk.
Le processus est-il capable de respecter les tolérances strictes ?

Correction :

Calcul de Cp :

formule_cp: "Cp = (USL - LSL) / (6 * σ)"
calcul_cp:
  Cp = (105 - 95) / (6 * 4)
  Cp = 10 / 24
  resultat: Cp ≈ 0.42

Calcul de Cpk :

formule_cpk: "Cpk = min((USL - μ) / (3 * σ), (μ - LSL) / (3 * σ))"
calcul_cpk:
  etape_1: "Cpk = min((105 - 100) / (3 * 4), (100 - 95) / (3 * 4))"
  etape_2: "Cpk = min(5 / 12, 5 / 12)"
  resultat: Cpk ≈ 0.42

Interprétation :
Le Cp et le Cpk sont très faibles (≈ 0.42), ce qui signifie que le processus n’est pas capable de respecter les tolérances strictes. La variabilité est trop élevée, et il est essentiel de réduire l’écart-type pour améliorer la capabilité.

Exercice 5 : Processus avec une double limite et centrage non optimal

Contexte :

Une société produit des pièces métalliques dont la longueur doit être comprise entre 150 mm et 170 mm. Les données sont :

USL : 170 mm
LSL : 150 mm
Moyenne (μ) : 160 mm
Écart-type (σ) : 5 mm

Question :

Calculez Cp et Cpk.
Comment pouvez-vous améliorer la capabilité du processus ?

Correction :

Calcul de Cp :

formule_cp: "Cp = (USL - LSL) / (6 * σ)"
calcul_cp:
  Cp = (170 - 150) / (6 * 5)
  Cp = 20 / 30
  resultat: Cp ≈ 0.67

Voici la suite et fin de l’Exercice 5 avec le calcul de Cpk et l’interprétation finale :

Correction (suite) :

Calcul de Cpk (suite) :

formule_cpk: "Cpk = min((USL - μ) / (3 * σ), (μ - LSL) / (3 * σ))"
calcul_cpk:
  etape_1: "Cpk = min((170 - 160) / (3 * 5), (160 - 150) / (3 * 5))"
  etape_2: "Cpk = min(10 / 15, 10 / 15)"
  resultat: Cpk ≈ 0.67

Interprétation :

Cp = 0.67 signifie que la variabilité du processus est trop élevée par rapport aux tolérances spécifiées. Cela montre que le processus produit trop de variations pour respecter de manière fiable les tolérances spécifiées.
Cpk = 0.67 montre que le processus est bien centré (la valeur est identique pour les deux limites), mais la capabilité est encore insuffisante.

Amélioration possible :

Réduire la variabilité en améliorant les machines ou les procédures afin de diminuer l’écart-type.
Recentrer le processus encore plus précisément sur la moyenne cible si nécessaire.
Contrôler en continu avec des méthodes comme le contrôle statistique des processus (SPC) pour s’assurer que la variabilité est maîtrisée à chaque étape de production.

Exercice 6 : Processus avec une tolérance symétrique et centrage proche de la limite inférieure

Contexte :

Une entreprise fabrique des barres métalliques qui doivent mesurer entre 200 mm et 220 mm. Cependant, après analyse, on observe que le processus est proche de la limite inférieure. Voici les données recueillies :

Limite de Spécification Supérieure (USL) : 220 mm
Limite de Spécification Inférieure (LSL) : 200 mm
Moyenne du processus (μ) : 202 mm
Écart-type (σ) : 2 mm

Question :

Calculez Cp et Cpk.
Le processus est-il capable et que suggérez-vous pour l’améliorer ?

Correction :

Calcul de Cp :

formule_cp: "Cp = (USL - LSL) / (6 * σ)"
calcul_cp:
  Cp = (220 - 200) / (6 * 2)
  Cp = 20 / 12
  resultat: Cp ≈ 1.67

Calcul de Cpk :

formule_cpk: "Cpk = min((USL - μ) / (3 * σ), (μ - LSL) / (3 * σ))"
calcul_cpk:
  etape_1: "Cpk = min((220 - 202) / (3 * 2), (202 - 200) / (3 * 2))"
  etape_2: "Cpk = min(18 / 6, 2 / 6)"
  resultat: Cpk ≈ 0.33

Interprétation :

Cp = 1.67 montre que le processus a un potentiel de capabilité, car il pourrait théoriquement produire dans les tolérances si parfaitement centré.
Cependant, Cpk = 0.33 est très faible, ce qui montre que le processus est trop proche de la limite inférieure (200 mm), donc mal centré.

Amélioration possible :

Recentrer le processus autour de la moyenne cible de 210 mm pour maximiser l’utilisation des tolérances de production.
Diminuer la variabilité si possible pour augmenter la capabilité du processus.

Ces exercices permettent de voir différentes situations où la capabilité du processus doit être évaluée et améliorée, selon les tolérances et le centrage du processus. Chaque cas présente des défis uniques, tels que la gestion d’une variabilité excessive, un mauvais centrage ou des tolérances asymétriques.