Cet article sur les mathématiques financières exercices corrigés vous aide à calculer l’intérêt simple, Intérêt Composé et Valeur Actuelle (VA)…

Les mathématiques financières constituent un ensemble de techniques permettant d’analyser et de résoudre des problèmes liés à la finance, aux investissements, aux prêts et aux décisions économiques. Voici une fiche pratique qui présente les concepts de base des mathématiques financières, les formules clés, et leurs applications.

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1. Intérêt Simple

Définition :

L’intérêt simple est calculé uniquement sur le capital initial pendant toute la durée de l’investissement ou du prêt.

Formule :

Intérêt simple = Capital initial * Taux d'intérêt * Durée
I = C * r * t

• (I) : Intérêt
• (C) : Capital initial
• (r) : Taux d’intérêt (en pourcentage par période)
• (t) : Durée (en années ou en périodes)

Exemple :

Si vous investissez 1 000 € à un taux d’intérêt simple de 5 % pendant 3 ans, l’intérêt est :

I = 1000 * 0.05 * 3 = 150 €

L’intérêt total est de 150 € et la somme accumulée est :

Montant total = Capital initial + Intérêt
Montant total = 1000 + 150 = 1150 €

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2. Intérêt Composé

Définition :

L’intérêt composé est calculé à la fois sur le capital initial et sur les intérêts accumulés des périodes précédentes.

Formule :

Montant accumulé = Capital initial * (1 + Taux d'intérêt)^Durée
M = C * (1 + r)^t

• (M) : Montant final
• (C) : Capital initial
• (r) : Taux d’intérêt (en pourcentage par période)
• (t) : Durée (en années ou en périodes)

Exemple :

Si vous investissez 1 000 € à un taux d’intérêt composé de 5 % pendant 3 ans, le montant accumulé est :

M = 1000 * (1 + 0.05)^3 = 1000 * 1.157625 = 1157.63 €

La somme accumulée après 3 ans est de 1 157,63 €.

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3. Valeur Actuelle (VA)

Définition :

La valeur actuelle est le montant que vaut aujourd’hui une somme d’argent qui sera reçue ou payée dans le futur, en tenant compte d’un taux d’actualisation.

Formule :

VA = Montant futur / (1 + Taux d'intérêt)^Durée
VA = MF / (1 + r)^t

• (VA) : Valeur actuelle
• (MF) : Montant futur
• (r) : Taux d’intérêt
• (t) : Durée (en années)

Exemple :

Si vous devez recevoir 1 200 € dans 2 ans et que le taux d’actualisation est de 6 %, la valeur actuelle est :

VA = 1200 / (1 + 0.06)^2 = 1200 / 1.1236 = 1068.15 €

La valeur actuelle de 1 200 € reçus dans 2 ans est de 1 068,15 € aujourd’hui.

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4. Valeur Actuelle Nette (VAN)

Définition :

La Valeur Actuelle Nette (VAN) est un indicateur permettant d’évaluer la rentabilité d’un projet en actualisant les flux de trésorerie futurs.

Formule :

VAN = -Investissement initial + Σ (Flux de trésorerie / (1 + r)^t)

• (VAN) : Valeur actuelle nette
• (r) : Taux d’actualisation
• (t) : Durée (en années ou périodes)

Exemple :

Un projet nécessite un investissement initial de 5 000 € et génère des flux de trésorerie de 1 500 €, 2 000 €, et 3 000 € sur 3 ans. Le taux d’actualisation est de 8 %.

VAN = - 5000 + (1500 / (1 + 0.08)^1) + (2000 / (1 + 0.08)^2) + (3000 / (1 + 0.08)^3)

# VAN = - 5000 + 1388.89 + 1716.47 + 2388.58 = 493.94 €

La VAN est de 493,94 €, ce qui signifie que le projet est rentable.

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5. Taux de Rendement Interne (TRI)

Définition :

Le Taux de Rendement Interne (TRI) est le taux d’actualisation qui rend la VAN égale à zéro.

Formule :

Il n’y a pas de formule analytique directe pour le TRI, mais on peut le calculer en résolvant l’équation suivante :

0 = -Investissement initial + Σ (Flux de trésorerie / (1 + TRI)^t)

• (TRI) : Taux de rendement interne

Exemple :

Un projet nécessite un investissement initial de 10 000 € et génère des flux de trésorerie de 4 000 € sur 3 ans. Il faut trouver le TRI qui rend la VAN égale à zéro.

La résolution du TRI se fait généralement avec des logiciels comme Excel ou des calculatrices financières, en utilisant la fonction TRI().

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6. Annuités

Définition :

Une annuité est une série de paiements égaux effectués à intervalles réguliers. Le calcul d’une annuité peut être effectué pour connaître soit la valeur actuelle, soit le montant des paiements futurs.

Formule pour une annuité à terme échu :

VA = Paiement * [(1 - (1 + r)^-t) / r]

• (VA) : Valeur actuelle de l’annuité
• (r) : Taux d’intérêt
• (t) : Nombre de périodes
• Paiement : Montant de chaque paiement

Exemple :

Si vous recevez une annuité de 1 000 € par an pendant 5 ans à un taux de 6 %, la valeur actuelle de cette annuité est :

VA = 1000 * [(1 - (1 + 0.06)^-5) / 0.06]
VA = 1000 * 4.21236 = 4212.36 €

La valeur actuelle des paiements annuels de 1 000 € pendant 5 ans à un taux de 6 % est de 4 212,36 €.

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7. Amortissement d’un Emprunt

Définition :

L’amortissement d’un emprunt consiste à rembourser progressivement un prêt, avec des paiements périodiques couvrant à la fois le capital et les intérêts.

Formule pour calculer l’annuité :

Annuité = Capital emprunté * [r / (1 - (1 + r)^-t)]

• (r) : Taux d’intérêt par période
• (t) : Nombre de périodes
• Capital emprunté : Montant du prêt

Exemple :

Si vous empruntez 10 000 € sur 3 ans à un taux d’intérêt de 5 %, le montant de chaque annuité est :

Annuité = 10000 * [0.05 / (1 - (1 + 0.05)^-3)] = 3678.87 €

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Les mathématiques financières offrent un ensemble d’outils puissants pour la gestion des investissements, des emprunts, et des décisions financières. Ces concepts et formules vous permettent de comprendre les dynamiques de l’argent dans le temps, et d’évaluer de manière rigoureuse les projets financiers. La maîtrise de ces techniques est essentielle pour prendre des décisions économiques éclairées et optimiser la rentabilité des investissements.

Mathématiques Financières : Exercice Corrigé

Énoncé

Une entreprise souhaite emprunter 100 000 € pour financer un projet d’investissement. Ce prêt doit être remboursé sur 6 ans avec des paiements annuels constants. Le taux d’intérêt est de 5 % par an. Calculez :

1. Le montant des paiements annuels constants.
2. La part des intérêts et la part du capital dans le premier et le deuxième paiement.

Solution

Calcul des paiements annuels constants

Pour rembourser un prêt avec des paiements constants sur une période donnée, on utilise la formule de la valeur actuelle d’une annuité ordinaire :

VAA = P * [(1 - (1 + r)^-n) / r]

Où :

• ( VAA ) : Montant du prêt (100 000 €).
• ( P ) : Montant des paiements annuels constants (à calculer).
• ( r ) : Taux d’intérêt annuel (5 % = 0,05).
• ( n ) : Nombre d’années (6 ans).

On réorganise la formule pour isoler ( P ) :

P = VAA / [(1 - (1 + r)^-n) / r]

Données :

• ( VAA = 100 000 ) €
• ( r = 5\% = 0,05 )
• ( n = 6 )

Calcul du paiement constant ( P ) :

   P = 100 000 / [(1 - (1 + 0,05)^-6) / 0,05]
   P = 100 000 / [(1 - (1,05)^-6) / 0,05]
   P = 100 000 / [(1 - 0,746215) / 0,05]
   P = 100 000 / [0,253785 / 0,05]
   P = 100 000 / 5,0757
   P = 19 698,73 €

Le montant des paiements annuels constants est de 19 698,73 €.

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2. Part des intérêts et part du capital dans les premiers paiements

Les paiements annuels constants sont composés d’une part des intérêts et d’une part du remboursement du capital.

La part des intérêts est calculée en multipliant le montant du capital restant dû par le taux d’intérêt. La part du capital est la différence entre le paiement total et les intérêts.

2.1. Premier paiement

1. Part des intérêts du premier paiement :
   Le capital initial est de 100 000 €.

   Intérêts = Capital restant * r
   Intérêts = 100 000 * 0,05
   Intérêts = 5 000 €

2. Part du capital remboursé dans le premier paiement :

   Capital remboursé = Paiement total - Intérêts
   Capital remboursé = 19 698,73 - 5 000
   Capital remboursé = 14 698,73 €

2.2. Deuxième paiement

1. Part des intérêts du deuxième paiement :
   Après le premier paiement, le capital restant est de 100 000 – 14 698,73 = 85 301,27 €.

   Intérêts = Capital restant * r
   Intérêts = 85 301,27 * 0,05
   Intérêts = 4 265,06 €

2. Part du capital remboursé dans le deuxième paiement :

   Capital remboursé = Paiement total - Intérêts
   Capital remboursé = 19 698,73 - 4 265,06
   Capital remboursé = 15 433,67 €

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Résumé des résultats

1. Montant des paiements annuels constants : 19 698,73 €
2. Premier paiement :

• Intérêts : 5 000 €
• Capital remboursé : 14 698,73 €

Deuxième paiement :

• Intérêts : 4 265,06 €
• Capital remboursé : 15 433,67 €

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Cet exercice montre comment calculer les paiements constants d’un prêt, ainsi que la répartition entre les intérêts et le capital remboursé dans chaque paiement. Ce type d’exercice est couramment utilisé dans les mathématiques financières pour les prêts amortissables.

Exercices Avancés en Mathématiques Financières avec Corrigés

Ces exercices couvrent des sujets avancés en mathématiques financières, incluant des calculs d’annuités croissantes, de rentes perpétuelles, de durée de remboursement, et de VAN ajustée pour l’inflation.

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Mathématiques Financières Exercice Corrigé 1 : Annuité croissante

Énoncé

Un investisseur décide de verser des paiements annuels dans un compte d’investissement pendant 10 ans, avec un taux d’intérêt annuel de 6 %. Le premier paiement est de 3 000 €, et chaque paiement augmente de 5 % par rapport au précédent. Calculez la valeur actuelle de cette série de paiements croissants.

Solution

Données :

• Montant initial du paiement : ( P_0 = 3 000 ) €
• Taux d’intérêt : ( r = 6\% = 0,06 )
• Taux de croissance des paiements : ( g = 5\% = 0,05 )
• Nombre de paiements : ( n = 10 )

Formule pour la valeur actuelle d’une annuité croissante : La formule pour une annuité croissante est :

   VAA = P_0 * [(1 - (1 + g)^n * (1 + r)^-n) / (r - g)]

Calcul :

   VAA = 3 000 * [(1 - (1 + 0,05)^10 * (1 + 0,06)^-10) / (0,06 - 0,05)]
   VAA = 3 000 * [(1 - (1,628895 * 0,558394)) / 0,01]
   VAA = 3 000 * [(1 - 0,90929) / 0,01]
   VAA = 3 000 * [0,09071 / 0,01]
   VAA = 3 000 * 9,071
   VAA = 27 213,00 €

La valeur actuelle de cette annuité croissante est de 27 213,00 €.

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Mathématiques Financières Exercice Corrigé : Rente perpétuelle ajustée à l’inflation

Énoncé

Un investisseur envisage d’acheter une rente perpétuelle qui verse 10 000 € par an, avec des paiements ajustés pour l’inflation à un taux annuel de 2 %. Si le taux d’intérêt est de 5 %, calculez le montant que l’investisseur doit payer pour cette rente.

Solution

Données :

• Paiement annuel : ( P = 10 000 ) €
• Taux d’intérêt : ( r = 5\% = 0,05 )
• Taux d’inflation : ( i = 2\% = 0,02 )

Formule pour la valeur actuelle d’une rente perpétuelle ajustée à l’inflation : La formule pour une rente perpétuelle ajustée à l’inflation est :

   VAA = P / (r - i)

Calcul :

   VAA = 10 000 / (0,05 - 0,02)
   VAA = 10 000 / 0,03
   VAA = 333 333,33 €

L’investisseur doit payer 333 333,33 € pour acheter cette rente perpétuelle ajustée à l’inflation.

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Exercice : Calcul de la durée de remboursement d’un prêt

Énoncé

Un emprunteur contracte un prêt de 150 000 € avec des paiements annuels constants de 20 000 €. Le taux d’intérêt est de 4 % par an. Calculez combien de temps il faudra pour rembourser complètement le prêt.

Solution

Données :

• Montant du prêt : ( VAA = 150 000 ) €
• Montant des paiements annuels : ( P = 20 000 ) €
• Taux d’intérêt : ( r = 4\% = 0,04 )

Formule pour calculer la durée d’une annuité : On utilise la formule de la valeur actuelle d’une annuité et on résout pour ( n ), le nombre de périodes.

   VAA = P * [(1 - (1 + r)^-n) / r]

Réarrangeons cette formule pour isoler ( n ) :

   (1 + r)^-n = 1 - (VAA * r) / P

Ensuite, on applique un logarithme pour obtenir ( n ) :

   n = -log(1 - (VAA * r) / P) / log(1 + r)

Calcul :

   n = -log(1 - (150 000 * 0,04) / 20 000) / log(1 + 0,04)
   n = -log(1 - 6) / log(1,04)
   n = -log(1 - 0,3) / log(1,04)
   n = -log(0,7) / log(1,04)
   n = 0,1549 / 0,01703
   n ≈ 9,09 ans

Il faudra environ 9 ans pour rembourser complètement le prêt avec des paiements annuels de 20 000 €.

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Mathématiques Financières Exercice Corrigé : Valeur actuelle nette (VAN) avec inflation

Énoncé

Un investisseur souhaite évaluer la rentabilité d’un projet qui nécessite un investissement initial de 100 000 €. Le projet générera des flux de trésorerie de 25 000 € par an pendant 5 ans. Le taux d’intérêt est de 7 %, mais l’inflation prévue est de 2 % par an. Calculez la VAN du projet en tenant compte de l’inflation.

Solution

Données :

• Investissement initial : ( I_0 = 100 000 ) €
• Flux de trésorerie : ( C_t = 25 000 ) €
• Taux d’intérêt nominal : ( r = 7\% = 0,07 )
• Taux d’inflation : ( i = 2\% = 0,02 )
• Durée : ( n = 5 ) ans

Calcul du taux d’intérêt réel :
On utilise la formule de Fisher pour ajuster le taux d’intérêt nominal à l’inflation :

   (1 + r_nominal) = (1 + r_réel) * (1 + i)

Pour isoler ( r_réel ) :

   r_réel = (1 + r_nominal) / (1 + i) - 1

3. Calcul :

   r_réel = (1 + 0,07) / (1 + 0,02) - 1
   r_réel = 1,07 / 1,02 - 1
   r_réel = 1,04902 - 1
   r_réel = 0,04902 = 4,902 %

4. Calcul de la VAN :
   Maintenant, on utilise le taux d’intérêt réel pour calculer la VAN avec la formule suivante :

   VAN = ∑(Ct / (1 + r_réel)^t) - I_0

5. Calcul des flux actualisés :

• Année 1 : 25 000 / (1 + 0,04902)^1 = 23 823,88 €
• Année 2 : 25 000 / (1 + 0,04902)^2 = 22 714,74 €
• Année 3 : 25 000 / (1 + 0,04902)^3 = 21 669,14 €
• Année 4 : 25 000 / (1 + 0,04902)^4 = 20 683,90 €
• Année 5 : 25 000 / (1 + 0,04902)^5 = 19 756,10 €

5. Somme des flux actualisés :

   Somme = 23 823,88 + 22 714,74 + 21 669,14 + 20 683,90 + 19 756,10 = 108 647,76 €

7. Calcul de la VAN :
   VAN = 108 647,76