Guide Complet des Conversions Binaires –

Les conversions binaires sont essentielles pour comprendre comment les ordinateurs stockent et traitent les données, car ils utilisent le système binaire (base 2). Ce guide couvre les conversions entre le système binaire et d’autres systèmes numériques courants : le système décimal (base 10), le système hexadécimal (base 16) et le système octal (base 8).

1. Conversion binaire vers décimal

Le système binaire fonctionne en base 2, où chaque chiffre représente une puissance de 2. Pour convertir un nombre binaire en décimal, il suffit de multiplier chaque bit par sa puissance de 2 correspondante, en commençant par la droite, et de les additionner.

Exemple : Conversion du binaire 1011 en décimal

1011 en binaire
= (1 × 2³) + (0 × 2²) + (1 × 2¹) + (1 × 2⁰)
= (1 × 8) + (0 × 4) + (1 × 2) + (1 × 1)
= 8 + 0 + 2 + 1
= 11 en décimal

Ainsi, 1011 en binaire équivaut à 11 en décimal.

Étapes de conversion :

Écrire les puissances de 2 pour chaque position de droite à gauche (2⁰, 2¹, 2², etc.).
Multiplier chaque bit par la puissance de 2 correspondante.
Additionner les résultats obtenus.

2. Conversion décimal vers binaire

Pour convertir un nombre décimal en binaire, on utilise la méthode de la division par 2. On divise le nombre par 2 de manière répétée, en notant le reste à chaque division. Ensuite, on lit les restes de bas en haut pour obtenir le nombre binaire.

Exemple : Conversion du décimal 13 en binaire

13 ÷ 2 = 6   reste 1
6 ÷ 2  = 3   reste 0
3 ÷ 2  = 1   reste 1
1 ÷ 2  = 0   reste 1

En lisant les restes de bas en haut, on obtient 1101 en binaire. Ainsi, 13 en décimal est égal à 1101 en binaire.

Étapes de conversion :

Diviser le nombre décimal par 2.
Noter le reste (0 ou 1).
Continuer à diviser le quotient jusqu’à ce qu’il soit égal à 0.
Lire les restes de bas en haut.

3. Conversion binaire vers hexadécimal

Le système hexadécimal (base 16) utilise 16 symboles : 0-9 pour les valeurs de 0 à 9, et A-F pour les valeurs de 10 à 15. La conversion binaire vers hexadécimal est simple car 4 bits en binaire correspondent directement à un chiffre hexadécimal.

Exemple : Conversion du binaire 10111010 en hexadécimal

Diviser le nombre binaire en groupes de 4 bits en partant de la droite :

   1011 1010

Convertir chaque groupe en hexadécimal :

1011 = B
1010 = A

Ainsi, 10111010 en binaire est égal à BA en hexadécimal.

Étapes de conversion :

Diviser le nombre binaire en groupes de 4 bits.
Convertir chaque groupe en son équivalent hexadécimal.
Si nécessaire, ajouter des zéros à gauche pour compléter les groupes de 4 bits.

4. Conversion hexadécimal vers binaire

La conversion d’un nombre hexadécimal en binaire est directe. Chaque chiffre hexadécimal est remplacé par son équivalent en 4 bits binaires.

Exemple : Conversion de BA en binaire

Convertir chaque chiffre hexadécimal :

B = 1011
A = 1010

Ainsi, BA en hexadécimal est égal à 10111010 en binaire.

Étapes de conversion :

Prendre chaque chiffre hexadécimal.
Convertir chaque chiffre en son équivalent binaire sur 4 bits.

5. Conversion binaire vers octal

Le système octal (base 8) utilise les chiffres de 0 à 7. La conversion binaire vers octal est simple car 3 bits en binaire correspondent directement à un chiffre octal.

Exemple : Conversion de 101110 en octal

Diviser le nombre binaire en groupes de 3 bits en partant de la droite :

   101 110

Convertir chaque groupe en octal :

101 = 5
110 = 6

Ainsi, 101110 en binaire est égal à 56 en octal.

Étapes de conversion :

Diviser le nombre binaire en groupes de 3 bits.
Convertir chaque groupe en son équivalent octal.
Ajouter des zéros à gauche si nécessaire pour compléter les groupes de 3 bits.

6. Conversion octal vers binaire

La conversion d’un nombre octal en binaire est directe. Chaque chiffre octal est remplacé par son équivalent en 3 bits binaires.

Exemple : Conversion de 56 en binaire

Convertir chaque chiffre octal :

5 = 101
6 = 110

Ainsi, 56 en octal est égal à 101110 en binaire.

Étapes de conversion :

Prendre chaque chiffre octal.
Convertir chaque chiffre en son équivalent binaire sur 3 bits.

7. Table de conversion rapide binaire, décimal, hexadécimal et octal

Décimal	Binaire	Hexadécimal	Octal
0	0000	0	0
1	0001	1	1
2	0010	2	2
3	0011	3	3
4	0100	4	4
5	0101	5	5
6	0110	6	6
7	0111	7	7
8	1000	8	10
9	1001	9	11
10	1010	A	12
11	1011	B	13
12	1100	C	14
13	1101	D	15
14	1110	E	16
15	1111	F	17

La conversion entre les systèmes numériques, en particulier entre le binaire, le décimal, l’hexadécimal et l’octal, est un processus clé dans l’informatique. La méthode de conversion varie en fonction du système de numération, mais les étapes sont simples avec un peu de pratique. Maîtriser ces conversions vous aidera à mieux comprendre les opérations numériques et à naviguer dans les systèmes informatiques.

Ce guide devrait vous permettre de vous exercer à convertir facilement les nombres d’un système à un autre.

Cas particuliers des conversions binaires

Lors des conversions entre le binaire et d’autres systèmes de numération, plusieurs cas particuliers peuvent se produire. Voici quelques exemples spécifiques qui peuvent poser des questions ou nécessiter une attention particulière.

1. Conversion de zéro

Quel que soit le système de numération, le zéro reste toujours zéro. C’est un cas particulier simple.

Binaire → Décimal :
0 en binaire = 0 en décimal
Décimal → Binaire :
0 en décimal = 0 en binaire
Binaire → Hexadécimal / Octal :
0 en binaire = 0 en hexadécimal et en octal

Cela montre que le zéro reste identique dans tous les systèmes de numération.

2. Les puissances de 2 en binaire

Les puissances de 2 en binaire sont très particulières, car elles consistent toujours en un 1 suivi de zéros. Cela en fait des nombres faciles à convertir et à repérer.

Puissance de 2	Binaire	Décimal
2⁰	1	1
2¹	10	2
2²	100	4
2³	1000	8
2⁴	10000	16
2⁵	100000	32
2⁶	1000000	64
2⁷	10000000	128

En particulier, ces nombres sont faciles à convertir en décimal ou en hexadécimal.

3. Nombres tout en 1 (binaire)

Lorsque tous les bits d’un nombre binaire sont des 1, cela représente une séquence intéressante en décimal. C’est le plus grand nombre possible avec ce nombre de bits. Par exemple :

1 bit : 1 en binaire = 1 en décimal
2 bits : 11 en binaire = 3 en décimal
3 bits : 111 en binaire = 7 en décimal
4 bits : 1111 en binaire = 15 en décimal
8 bits : 11111111 en binaire = 255 en décimal

Cela signifie que pour n bits, le plus grand nombre représentable est 2ⁿ – 1. En hexadécimal, cette forme est également facile à convertir car elle utilise souvent les lettres de A à F.

Exemple :

1111 en binaire = F en hexadécimal
11111111 en binaire = FF en hexadécimal

4. Nombres tout en 0 sauf un 1 à la fin

Lorsqu’un nombre binaire se termine par un 1 avec tous les autres bits étant des 0, il représente toujours une puissance de 2.

Exemple :

1000 en binaire = 8 en décimal
100 en binaire = 4 en décimal

Ce type de nombres est commun dans le traitement des puissances et des décalages binaires.

5. Ajout de zéros à gauche (padding)

En binaire, les zéros à gauche n’ont aucun impact sur la valeur du nombre. Cependant, ils peuvent être utilisés pour rendre un nombre plus facile à manipuler dans certaines conversions ou dans des contextes spécifiques comme le codage binaire sur 8 bits, 16 bits, etc.

Exemple :

00101 en binaire est identique à 101 en binaire et vaut 5 en décimal.

Cependant, pour certaines conversions (comme vers l’octal ou l’hexadécimal), ajouter des zéros à gauche peut rendre la conversion plus simple.

Conversion pratique :

Prenons le nombre binaire 1101. Pour le convertir en hexadécimal, vous pouvez ajouter des zéros à gauche pour avoir un multiple de 4 bits :

1101 devient 0001 1101, ce qui donne 1D en hexadécimal.

6. Les multiples de 8 et 16

Les nombres binaires qui représentent des multiples de 8 ou de 16 se terminent toujours par trois ou quatre zéros.

Un multiple de 8 se termine toujours par au moins 000 en binaire.
24 en décimal = 11000 en binaire
48 en décimal = 110000 en binaire
Un multiple de 16 se termine toujours par au moins 0000 en binaire.
16 en décimal = 10000 en binaire
32 en décimal = 100000 en binaire

Ces motifs sont utiles lorsque vous travaillez avec des valeurs alignées sur des puissances de 2 dans des environnements informatiques.

7. Conversion de fractions en binaire

Les nombres à virgule (fractions) peuvent également être convertis en binaire. La partie entière est convertie de manière classique, tandis que la partie fractionnaire est multipliée par 2 de manière répétée pour obtenir chaque chiffre binaire.

Exemple : Conversion de 0,625 en binaire

Multiplier 0,625 par 2 : 0,625 × 2 = 1,25 → 1
Prendre la partie fractionnaire (0,25) et la multiplier par 2 : 0,25 × 2 = 0,5 → 0
Multiplier 0,5 par 2 : 0,5 × 2 = 1,0 → 1

Résultat : 0,625 en décimal = 0,101 en binaire

8. Les puissances de 16 en hexadécimal

En hexadécimal, les puissances de 16 sont représentées par des nombres qui se terminent par un ou plusieurs zéros (similaires aux puissances de 10 en décimal).

Exemple :

16 en décimal = 10 en hexadécimal
256 en décimal = 100 en hexadécimal

Cela simplifie parfois les conversions entre l’hexadécimal et le binaire, car chaque chiffre hexadécimal correspond exactement à 4 bits binaires.

Les cas particuliers des conversions binaires sont des situations où des motifs spécifiques facilitent les conversions ou aident à comprendre certaines propriétés du système binaire. Qu’il s’agisse de puissances de 2, de séquences de 1, de zéros à gauche ou de nombres à virgule, ces situations apparaissent fréquemment dans l’informatique et les systèmes numériques.