L’assurance, que ce soit pour la santé, la vie, l’auto, ou d’autres types de couvertures, utilise généralement des formules basées sur des variables spécifiques pour déterminer le montant de la prime que vous devrez payer. Voici un aperçu général des facteurs et des formules utilisées dans le calcul des assurances.

1. Formule de base pour une prime d’assurance :

La formule standard pour calculer une prime d’assurance se base sur trois composantes principales :

• Risque estimé : C’est la probabilité que l’événement assuré se produise. Les compagnies d’assurance utilisent des modèles statistiques pour évaluer ce risque, en fonction de plusieurs facteurs tels que l’âge, l’historique de conduite, la santé, ou d’autres données pertinentes.
• Montant assuré : C’est le montant que l’assureur s’engage à verser en cas de sinistre. Il s’agit de la valeur totale ou partielle des biens ou des personnes assurées.
• Taux de prime : Ce taux est déterminé par l’assureur en fonction du risque estimé et des antécédents du preneur d’assurance. Plus le risque est élevé, plus le taux sera important.

2. Exemple pour une assurance automobile :

Voici un exemple simple de calcul pour une assurance auto :

• Valeur du véhicule : Montant de la valeur marchande actuelle de votre voiture.
• Taux de prime : Ce taux varie selon plusieurs facteurs comme l’âge du conducteur, son historique de conduite, le type de voiture, etc.
• Charges supplémentaires : Certains frais peuvent être ajoutés, comme des taxes, des frais administratifs ou des options de couverture supplémentaires.

3. Calcul des primes d’assurance-vie :

Les primes d’assurance-vie sont calculées en tenant compte de facteurs tels que l’âge, le sexe, la santé, le tabagisme, etc. La formule courante serait :

• Facteur de risque : Il est souvent déterminé par des paramètres comme l’âge ou l’état de santé.
• Taux actuariel : Les actuaires utilisent ce taux pour refléter les statistiques de mortalité et de longévité de différentes classes de risque.

4. Exemple de calcul d’assurance santé :

L’assurance santé dépend aussi de plusieurs facteurs personnels et généraux. Un exemple de calcul pourrait être :

• Risque lié à l’âge : Plus une personne est âgée, plus elle est susceptible d’avoir des problèmes de santé, ce qui augmente le risque pour l’assureur.
• Charges administratives : Ce sont des frais supplémentaires que l’assureur peut ajouter pour couvrir les frais de gestion.

5. Facteurs influençant la prime :

Il est important de noter que de nombreux facteurs peuvent affecter le montant final de la prime, notamment :

• L’âge et le sexe du souscripteur
• L’état de santé et l’historique médical
• Le lieu de résidence
• Le type de couverture choisie
• Les options supplémentaires (franchise, protection juridique, etc.)

Le calcul de la prime d’assurance repose sur l’analyse des risques spécifiques à chaque personne ou bien. Chaque assureur applique ses propres règles de tarification, mais les formules de base restent similaires, ajustées par divers facteurs de risque et options spécifiques.

Quels facteurs influencent le taux actuariel?

Le taux actuariel, qui est crucial dans la détermination des primes d’assurance, est influencé par plusieurs facteurs. Ces facteurs varient en fonction du type d’assurance, mais ils sont principalement liés à l’évaluation des risques que l’assureur prend en charge. Voici les principaux éléments qui influencent le taux actuariel :

1. Âge

• Impact : Plus une personne est âgée, plus le risque de maladie, d’accident ou de décès augmente. Pour les assurances vie et santé, l’âge est un facteur déterminant pour estimer la probabilité de sinistre.
• Exemple : Une personne de 60 ans paiera une prime plus élevée pour une assurance vie qu’une personne de 30 ans.

2. Sexe

• Impact : Les statistiques montrent que les hommes et les femmes ont des espérances de vie et des comportements de risque différents.
• Les femmes ont généralement une espérance de vie plus longue, donc elles peuvent bénéficier de primes plus basses pour des assurances vie.
• Les hommes peuvent avoir des primes plus élevées pour certaines assurances, comme l’assurance auto, en raison de leur propension à prendre plus de risques sur la route.

3. État de santé

• Impact : Les conditions médicales préexistantes, le niveau de forme physique, le poids, et les habitudes comme le tabagisme ou la consommation d’alcool influencent fortement le taux actuariel.
• Exemple : Une personne en bonne santé avec un mode de vie sain aura un taux actuariel plus bas qu’une personne souffrant de maladies chroniques ou ayant un historique médical défavorable.

4. Habitudes de vie

• Impact : Les habitudes de vie telles que le tabagisme, la consommation d’alcool, l’alimentation, et le niveau d’activité physique ont un impact direct sur la probabilité de sinistres, en particulier pour les assurances santé et vie.
• Exemple : Un fumeur peut avoir une prime d’assurance vie beaucoup plus élevée qu’un non-fumeur, car le risque de maladies graves comme le cancer du poumon est plus élevé.

5. Profession et loisirs

• Impact : Certaines professions et loisirs sont plus risqués que d’autres. Par exemple, un travail dans la construction ou la manipulation de produits chimiques peut entraîner des primes plus élevées, de même que des activités sportives extrêmes (parachutisme, alpinisme, etc.).
• Exemple : Un pilote de course ou un travailleur en hauteur paiera des primes plus élevées que quelqu’un ayant un emploi de bureau.

6. Lieu de résidence

• Impact : Le lieu de résidence influence aussi le risque, en fonction de la prévalence des catastrophes naturelles (ouragans, inondations), des taux de criminalité ou encore de la qualité du système de santé.
• Exemple : Dans des zones où les risques de catastrophes naturelles sont élevés, comme la Floride pour les ouragans, les primes d’assurance habitation seront plus élevées.

7. Antécédents de sinistre

• Impact : Les assureurs tiennent compte de l’historique de réclamations de l’assuré. Une personne ayant souvent déclaré des sinistres aura un taux actuariel plus élevé car elle est considérée comme plus risquée.
• Exemple : Un conducteur ayant eu plusieurs accidents dans le passé paiera une prime plus élevée pour son assurance auto.

8. Taux d’intérêt et inflation

• Impact : Le taux actuariel prend aussi en compte des facteurs économiques comme les taux d’intérêt et l’inflation. Les assureurs investissent souvent les primes collectées dans des placements, et des taux d’intérêt plus bas signifient moins de rendement sur ces investissements, ce qui peut augmenter le coût des primes.
• Exemple : En période de faible taux d’intérêt, les assureurs peuvent augmenter les primes pour compenser une rentabilité plus faible de leurs placements.

9. Durée de la couverture

• Impact : Plus la durée de l’assurance est longue, plus le taux actuariel peut être élevé. Une couverture à long terme implique un engagement prolongé de l’assureur à gérer le risque, surtout dans le cas des assurances vie.
• Exemple : Une assurance vie à 20 ans sera moins coûteuse que celle avec une couverture à vie, car les risques augmentent avec le temps.

10. Comportements et tendances du marché

• Impact : Les tendances générales du marché de l’assurance, y compris les innovations médicales, les progrès technologiques et les changements démographiques, peuvent également influencer les taux actuariels. Les assureurs ajustent leurs taux en fonction des prévisions du marché pour maintenir leur rentabilité.
• Exemple : Une amélioration significative des traitements médicaux pour certaines maladies peut réduire le risque pour les assureurs et donc entraîner une baisse des primes.

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Ces facteurs sont combinés dans des modèles actuariels complexes, souvent soutenus par des données historiques et des projections statistiques, pour évaluer le risque global et déterminer les primes appropriées.

Quels types d’assurance sont disponibles ?

En France, plusieurs types d’assurances sont obligatoires pour les particuliers et les professionnels, afin de protéger les individus et les biens. Voici les principales assurances obligatoires :

1. Assurance Responsabilité Civile

L’assurance responsabilité civile est obligatoire pour tous les résidents français. Elle couvre les dommages matériels et corporels que vous pouvez causer involontairement à autrui. Elle est généralement incluse dans des contrats multirisques habitation, mais peut aussi être souscrite séparément.

• Exemple : Si vous blessez quelqu’un par accident ou si votre enfant casse un objet chez un voisin, cette assurance couvrira les réparations ou les soins médicaux nécessaires.

2. Assurance Habitation pour les Locataires

Pour les locataires, l’assurance habitation est obligatoire. Elle couvre les dommages causés au logement loué (incendie, dégât des eaux, etc.) et engage leur responsabilité en cas de dommages causés à autrui (par exemple, des voisins).

• Exemple : Un locataire doit souscrire à une assurance habitation qui couvre au minimum les risques locatifs pour protéger le propriétaire en cas de sinistre.

3. Assurance Auto

L’assurance automobile est obligatoire pour tout véhicule motorisé circulant sur la voie publique. Cette assurance couvre au minimum la responsabilité civile, qui prend en charge les dommages corporels et matériels causés à des tiers lors d’un accident.

• Responsabilité civile automobile : Il s’agit de la couverture minimale légale, appelée “assurance au tiers”. Elle ne couvre pas les dommages causés à votre propre véhicule.
• Assurance tous risques (facultative) : Bien que non obligatoire, elle couvre davantage de risques, y compris les dommages subis par votre propre véhicule.

4. Assurance Scolaire (partiellement obligatoire)

L’assurance scolaire n’est pas légalement obligatoire, mais elle est souvent exigée par les établissements scolaires pour les activités extrascolaires (sorties, voyages scolaires, etc.). Elle comprend généralement une couverture responsabilité civile pour les dommages causés par l’élève, et une garantie accidents corporels pour les blessures qu’il pourrait subir.

5. Assurance Maladie

En France, l’assurance maladie est obligatoire et gérée par la Sécurité sociale. Elle couvre une partie des frais médicaux (consultations, médicaments, hospitalisations, etc.). Toute personne résidant en France de manière stable et régulière doit être affiliée à la Sécurité sociale pour bénéficier de cette couverture.

• Mutuelle santé (facultative) : Bien que non obligatoire, de nombreuses personnes souscrivent une complémentaire santé (mutuelle) pour couvrir les frais non remboursés par la Sécurité sociale.

6. Assurance Décennale (pour les professionnels du bâtiment)

L’assurance décennale est obligatoire pour les professionnels du bâtiment et de la construction. Elle couvre pendant 10 ans les dommages pouvant affecter la solidité ou l’habitabilité d’un ouvrage après la fin des travaux (toiture, fondations, etc.).

• Exemple : Un maçon ou un architecte doit souscrire cette assurance pour garantir la réparation des dommages qui pourraient survenir après la livraison d’une maison ou d’un bâtiment.

7. Assurance Responsabilité Civile Professionnelle (pour certaines professions)

Certaines professions réglementées, comme les professions médicales (médecins, dentistes, infirmiers, etc.), les avocats, les experts-comptables, et les agents immobiliers, sont tenues de souscrire une assurance responsabilité civile professionnelle. Cette assurance couvre les dommages causés dans le cadre de leur activité professionnelle.

• Exemple : Un médecin est tenu de souscrire une assurance responsabilité civile pour couvrir les dommages corporels qu’il pourrait involontairement causer à ses patients.

8. Assurance de Prêt (assurance emprunteur)

Lorsqu’une personne souscrit un crédit immobilier, l’assurance emprunteur est souvent exigée par les banques. Bien que cette assurance ne soit pas légalement obligatoire, elle est quasiment toujours imposée par les établissements bancaires pour garantir le remboursement du prêt en cas de décès, d’invalidité, ou d’incapacité de travail de l’emprunteur.

• Exemple : Lors de l’achat d’une maison ou d’un appartement avec un prêt bancaire, la banque demande généralement à l’emprunteur de souscrire une assurance qui garantit le remboursement du prêt en cas d’incidents graves.

9. Assurance Responsabilité Civile Chasse

Pour les chasseurs, l’assurance responsabilité civile chasse est obligatoire. Elle couvre les dommages matériels ou corporels que vous pourriez causer à des tiers lors de la chasse.

• Exemple : Un chasseur doit souscrire cette assurance avant de pouvoir obtenir son permis de chasse.

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En France, plusieurs assurances sont obligatoires pour protéger les individus et la société contre différents types de risques. Ces obligations concernent aussi bien les particuliers que les professionnels, et visent à garantir une couverture minimale face aux sinistres. Bien que certaines assurances, comme l’assurance auto et l’assurance habitation, soient bien connues, d’autres obligations, notamment pour les professionnels, sont également importantes selon les activités exercées.

Exercice 1 : Calcul de la prime d’assurance auto

Énoncé :

Vous possédez une voiture d’une valeur de 20 000 €. L’assureur vous propose une couverture « tous risques » avec un taux de prime de 3 %. Calculez la prime annuelle que vous devrez payer, sachant qu’il y a également des frais administratifs de 50 €.

Solution :

Prime d’assurance = (Valeur du véhicule × Taux de prime) + Frais administratifs

Prime d’assurance = (20 000 × 0,03) + 50

Prime d’assurance = 600 + 50 = 650 €

Réponse : La prime annuelle est de 650 €.

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Exercice 2 : Calcul de la prime d’assurance vie temporaire

Énoncé :

Un homme de 40 ans souscrit une assurance vie temporaire de 10 ans pour un capital assuré de 100 000 €. Le taux de prime est de 0,2 % par an. Calculez la prime annuelle.

Solution :

Prime d’assurance vie = Capital assuré × Taux de prime

Prime d’assurance vie = 100 000 × 0,002

Prime d’assurance vie = 200 €

Réponse : La prime annuelle est de 200 €.

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Exercice 3 : Calcul de la prime d’assurance habitation pour un locataire

Énoncé :

Vous êtes locataire d’un appartement et devez souscrire une assurance habitation. Le montant assuré pour vos biens personnels est de 15 000 € et le taux de prime est de 1,5 %. Calculez la prime annuelle.

Solution :

Prime d’assurance habitation = Montant assuré × Taux de prime

Prime d’assurance habitation = 15 000 × 0,015

Prime d’assurance habitation = 225 €

Réponse : La prime annuelle est de 225 €.

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Exercice 4 : Calcul de l’assurance emprunteur

Énoncé :

Vous souscrivez un prêt immobilier de 200 000 € sur 20 ans, avec une assurance emprunteur au taux de 0,35 % par an. Calculez la prime annuelle que vous devrez payer.

Solution :

Prime d’assurance emprunteur = Montant du prêt × Taux de prime

Prime d’assurance emprunteur = 200 000 × 0,0035

Prime d’assurance emprunteur = 700 €

Réponse : La prime annuelle est de 700 €.

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Exercice 5 : Calcul de la couverture d’assurance maladie

Énoncé :

Une personne souscrit une assurance maladie qui couvre 70 % des frais médicaux. Si une hospitalisation coûte 2 000 €, combien l’assuré devra-t-il payer ?

Solution :

Frais non couverts = Montant total × (1 - Pourcentage de couverture)

Frais non couverts = 2 000 × (1 - 0,7)

Frais non couverts = 2 000 × 0,3 = 600 €

Réponse : L’assuré devra payer 600 €.

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Exercice 6 : Calcul de la prime d’assurance décennale pour un artisan

Énoncé :

Un artisan dans le bâtiment doit souscrire une assurance décennale pour un montant de 500 000 €. Le taux de prime est de 1,2 % par an. Calculez la prime annuelle.

Solution :

Prime d’assurance décennale = Montant assuré × Taux de prime

Prime d’assurance décennale = 500 000 × 0,012

Prime d’assurance décennale = 6 000 €

Réponse : La prime annuelle est de 6 000 €.

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Exercice 7 : Calcul d’une franchise d’assurance auto

Énoncé :

Votre assurance auto a une franchise de 500 €. Vous avez un accident qui coûte 2 000 € en réparations. Quel montant sera pris en charge par l’assureur ?

Solution :

Montant pris en charge = Montant des réparations - Franchise

Montant pris en charge = 2 000 - 500

Montant pris en charge = 1 500 €

Réponse : L’assureur prendra en charge 1 500 €.

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Cas PARTICULIERS

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Exercice 1 : Prime d’assurance auto avec bonus-malus

Énoncé :

Vous possédez une voiture assurée pour une valeur de 18 000 €. Votre assureur applique un taux de prime de 4 %, mais vous bénéficiez d’un bonus de 20 % en raison de votre bon historique de conduite. Calculez la prime annuelle après application du bonus.

Solution :

Prime avant bonus = Valeur du véhicule × Taux de prime
Prime avant bonus = 18 000 × 0,04 = 720 €

Bonus = Prime avant bonus × 0,20 = 720 × 0,20 = 144 €

Prime après bonus = Prime avant bonus - Bonus
Prime après bonus = 720 - 144 = 576 €

Réponse : La prime annuelle après bonus est de 576 €.

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Exercice 2 : Calcul de la franchise après remboursement partiel d’assurance

Énoncé :

Vous avez une assurance habitation avec une franchise de 300 €. Après un dégât des eaux, les réparations coûtent 1 200 €. Votre assurance prend en charge 80 % des frais. Calculez combien vous devez payer après l’application de la franchise et du pourcentage de couverture.

Solution :

Montant pris en charge = Coût des réparations × Pourcentage de couverture
Montant pris en charge = 1 200 × 0,80 = 960 €

Montant payé par l'assuré = Coût des réparations - Montant pris en charge
Montant payé par l'assuré = 1 200 - 960 = 240 €

Montant final à payer avec franchise = Montant payé par l'assuré + Franchise
Montant final à payer avec franchise = 240 + 300 = 540 €

Réponse : L’assuré devra payer 540 € après application de la franchise.

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Exercice 3 : Assurance vie avec décès anticipé

Énoncé :

Vous avez souscrit une assurance vie temporaire de 15 ans avec un capital assuré de 200 000 € et un taux de prime de 0,25 % par an. Vous décédez après 10 ans. Calculez le montant versé aux bénéficiaires, sachant que vous avez payé les primes pendant 10 ans.

Solution :

Prime annuelle = Capital assuré × Taux de prime
Prime annuelle = 200 000 × 0,0025 = 500 €

Total payé sur 10 ans = Prime annuelle × 10
Total payé sur 10 ans = 500 × 10 = 5 000 €

Montant versé = 200 000 €

Réponse : Les bénéficiaires recevront 200 000 €, même si les primes payées totalisent seulement 5 000 €.

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Exercice 4 : Assurance emprunteur avec perte d’emploi

Énoncé :

Vous avez souscrit une assurance emprunteur pour un prêt de 150 000 €, avec une couverture de 70 % en cas de perte d’emploi. Votre mensualité de prêt est de 1 000 €. Vous perdez votre emploi et activez l’assurance. Combien devrez-vous payer chaque mois après activation de l’assurance ?

Solution :

Part de la mensualité couverte = Mensualité × Pourcentage de couverture
Part de la mensualité couverte = 1 000 × 0,70 = 700 €

Montant restant à payer = Mensualité - Part de la mensualité couverte
Montant restant à payer = 1 000 - 700 = 300 €

Réponse : L’assuré devra payer 300 € par mois après activation de l’assurance.

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Exercice 5 : Assurance santé avec un plafond annuel

Énoncé :

Votre assurance santé couvre 90 % des frais médicaux, mais avec un plafond de remboursement de 5 000 € par an. Si vous avez des frais médicaux de 7 000 € pour l’année en cours, combien sera remboursé par l’assurance et combien devrez-vous payer ?

Solution :

Montant remboursé théoriquement = 7 000 × 0,90 = 6 300 €

Montant remboursé avec plafond = 5 000 € (plafond appliqué)

Montant total à payer = 7 000 - 5 000 = 2 000 €

Réponse : L’assurance remboursera 5 000 € et l’assuré devra payer 2 000 €.

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Exercice 6 : Sinistre avec plusieurs assurances

Énoncé :

Vous avez deux assurances habitation (Assurance A et Assurance B) pour couvrir les dommages d’un incendie. L’Assurance A couvre 60 % des dégâts et l’Assurance B couvre 40 %. Si l’incendie cause des dommages de 50 000 €, combien chaque assureur devra-t-il payer ?

Solution :

Montant couvert par A = 50 000 × 0,60 = 30 000 €

Montant couvert par B = 50 000 × 0,40 = 20 000 €

Réponse : L’Assurance A paiera 30 000 € et l’Assurance B paiera 20 000 €.

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Ces exercices montrent comment calculer les primes, franchises et remboursements dans des situations particulières, où interviennent des bonus, des plafonds de remboursement, ou plusieurs assurances.

Le système de bonus-malus (aussi appelé « coefficient de réduction-majoration ») est un mécanisme utilisé par les compagnies d’assurance automobile en France pour ajuster le montant de la prime d’assurance en fonction du comportement du conducteur. Il vise à récompenser les conducteurs prudents avec des réductions de primes (bonus) et à pénaliser ceux qui causent des accidents avec des majorations de primes (malus). Ce système encourage donc la conduite responsable.

Comment fonctionne le système de bonus-malus ?

1. Le Bonus : Réduction de la prime

• Si vous n’avez causé aucun accident responsable pendant une période de 12 mois consécutifs, vous obtenez un bonus.
• Le bonus se traduit par une réduction du coefficient de votre prime de 5 % par an.
• Coefficient de départ : Tous les nouveaux conducteurs partent avec un coefficient de 1,00, ce qui correspond au montant de la prime de référence.
• Après un an sans sinistre, le coefficient passe à 0,95 (soit 5 % de réduction).
• Au bout de plusieurs années consécutives sans sinistre, le coefficient peut baisser jusqu’à 0,50 (soit 50 % de réduction), qui est le bonus maximum.

Exemple de progression du bonus :

Année sans accident	Coefficient	Réduction de prime
Année 1	0,95	-5 %
Année 2	0,90	-10 %
Année 3	0,85	-15 %
…	…	…
Année 13 et plus	0,50	-50 % (plafond)

2. Le Malus : Majoration de la prime

• Si vous êtes responsable d’un accident, vous subissez un malus, qui augmente votre coefficient et donc votre prime d’assurance.
• Pour chaque accident responsable, le coefficient est augmenté de 25 % (multiplication par 1,25).
• En cas de multiples accidents, les malus sont cumulés. Toutefois, après une série d’années sans accident, vous pouvez progressivement revenir à un coefficient normal.

Exemple de progression du malus :

Nombre d’accidents responsables	Coefficient initial	Coefficient après malus	Augmentation de prime
1 accident	1,00	1,25	+25 %
2 accidents	1,25	1,56 (1,25 x 1,25)	+56 %
3 accidents	1,56	1,95 (1,56 x 1,25)	+95 %

• Le malus est plafonné à 3,50, soit 250 % d’augmentation par rapport à la prime de départ. Il est donc impossible de payer plus de 3,5 fois le montant de la prime initiale.

3. Effacement du Malus

• Si vous ne causez aucun accident responsable pendant 2 années consécutives, votre malus diminue et revient progressivement à un coefficient de 1,00.
• Après 3 années sans accident, quel que soit le niveau de malus, vous retrouvez un coefficient de 1,00, effaçant ainsi complètement les malus accumulés.

4. Accidents sans malus

Certains types d’accidents n’entraînent pas de malus, même si vous êtes impliqué. Par exemple :

• Si vous êtes non responsable de l’accident (c’est l’autre conducteur qui est fautif).
• En cas de vol ou de vandalisme sur votre véhicule.
• Si vous avez un accident avec un piéton ou un cycliste, mais que vous n’êtes pas responsable.

Cas Pratique

Exemple d’un conducteur sans sinistre pendant plusieurs années :

1. Début : Vous commencez avec un coefficient de 1,00 et une prime annuelle de 500 €.
2. Après un an sans accident : Votre coefficient passe à 0,95, et vous bénéficiez d’une réduction de 5 %, donc votre prime passe à 475 €.
3. Après 5 ans sans accident : Votre coefficient atteint 0,77, soit une réduction de 23 %. Votre prime est donc de 385 €.
4. Après 13 ans sans accident : Vous atteignez le coefficient minimal de 0,50 (bonus maximum), et votre prime est réduite à 250 €.

Exemple d’un conducteur avec un accident responsable :

1. Début : Vous avez une prime annuelle de 500 € et un coefficient de 1,00.
2. Accident responsable la première année : Votre coefficient passe à 1,25, et votre prime est majorée de 25 %. Vous paierez donc 625 € l’année suivante.
3. Pas d’autre accident pendant 2 ans : Votre coefficient est réduit de 5 % chaque année. Après 2 ans, il sera à 1,13 (1,25 x 0,95 x 0,95), et votre prime sera de 565 €.

Le système de bonus-malus en France récompense les conducteurs prudents en réduisant progressivement leur prime d’assurance et pénalise ceux qui provoquent des accidents avec des majorations de prime. Il s’agit d’un mécanisme incitatif qui encourage une conduite plus responsable et réduit le nombre d’accidents.

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Exercice : Calcul de la prime d’assurance avec le système de bonus-malus

Énoncé :

Un conducteur a souscrit une assurance automobile avec une prime annuelle de 800 € et un coefficient de départ de 1,00 (pas de bonus, ni de malus). Après trois années sans accident, il bénéficie du système de bonus. Cependant, lors de la quatrième année, il est responsable d’un accident.

1. Calculez la prime à payer pour la quatrième année (après l’accident).
2. Calculez la prime à payer pour la cinquième année, s’il n’a pas d’accident durant cette année.

Données :

• Réduction de prime (bonus) : 5 % de réduction du coefficient pour chaque année sans accident.
• Majoration de prime (malus) : 25 % d’augmentation du coefficient en cas d’accident responsable.
• La prime de départ est 800 € avec un coefficient de 1,00.
• La prime se calcule ainsi :

Prime = Prime initiale × Coefficient de réduction-majoration

Étapes de la solution :

1. Calcul de la prime pour la quatrième année (après l’accident)

Après trois années sans accident, le coefficient a évolué comme suit :

Coefficient après la première année = 1,00 × 0,95 = 0,95

Coefficient après la deuxième année = 0,95 × 0,95 = 0,9025

Coefficient après la troisième année = 0,9025 × 0,95 = 0,8574

Après trois ans, le coefficient de bonus est donc de 0,8574.

Cependant, après l’accident responsable à la fin de la troisième année, le coefficient augmente de 25 % :

Nouveau coefficient = 0,8574 × 1,25 = 1,07175

Maintenant, nous pouvons calculer la prime pour la quatrième année :

Prime pour la quatrième année = 800 × 1,07175 = 857,40 €

Réponse : La prime pour la quatrième année est de 857,40 €.

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2. Calcul de la prime pour la cinquième année (sans accident)

S’il n’y a pas d’accident pendant la cinquième année, le coefficient diminue de 5 % :

Nouveau coefficient = 1,07175 × 0,95 = 1,01816

La prime pour la cinquième année sera donc :

Prime pour la cinquième année = 800 × 1,01816 = 814,53 €

Réponse : La prime pour la cinquième année sera de 814,53 €.

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Récapitulatif :

• Prime pour la quatrième année (après l’accident) : 857,40 €
• Prime pour la cinquième année (sans nouvel accident) : 814,53 €

Cet exercice montre comment les bonus et malus influencent le calcul des primes en fonction du comportement du conducteur.