Calcul de la Van et du Tri Exercices Corrigés

Le calcul de la de la VAN et du TRI ( Valeur Actuelle Nette et Taux de Rendement Interne) est essentiel pour évaluer la rentabilité des projets d’investissement. Ces deux indicateurs financiers permettent de prendre des décisions éclairées en comparant les flux de trésorerie futurs d’un projet à son coût initial.

La VAN : Elle mesure la différence entre la somme des flux de trésorerie actualisés d’un projet et l’investissement initial. Une VAN positive indique que le projet crée de la valeur, tandis qu’une VAN négative signifie que le projet détruit de la valeur.
Le TRI : C’est le taux d’actualisation qui rend la VAN égale à zéro. Il représente le taux de rendement annuel d’un projet d’investissement. Un TRI supérieur au coût du capital signifie que le projet est rentable, tandis qu’un TRI inférieur indique que le projet est non rentable.

Ces concepts sont largement utilisés pour analyser différents types de projets, qu’il s’agisse de nouvelles initiatives, de projets d’expansion, ou d’investissements à long terme. Ils aident à déterminer si les flux de trésorerie futurs sont suffisants pour compenser l’investissement initial et les risques associés.

Dans les exercices corrigés qui suivent, vous apprendrez à appliquer les formules pour le calcul de la de la VAN et du TRI pour évaluer différents scénarios d’investissement, en tenant compte des taux d’actualisation et des variations des flux de trésorerie.

Comment calculer le TRI à partir de la VAN ?

Le TRI se trouve en cherchant le taux d’actualisation pour lequel la VAN devient égale à zéro. En pratique, on calcule deux VAN avec deux taux différents : une VAN positive et une VAN négative. Le TRI se situe entre ces deux taux.

Formule d’approximation du TRI :
TRI ≈ t1 + [ VAN1 ÷ (VAN1 – VAN2) ] × (t2 – t1)

Taux testé	VAN obtenue	Interprétation
10 %	+ 2 079 €	Le taux est trop faible
20 %	– 1 200 €	Le taux est trop élevé

Le TRI est donc compris entre 10 % et 20 %. Plus la VAN se rapproche de zéro, plus le taux testé se rapproche du TRI réel.

Voici un exercice corrigé sur le calcul de la Valeur Actuelle Nette (VAN) et du Taux de Rendement Interne (TRI).

Exercice : Calcul de la VAN et du TRI

Énoncé

Un projet d’investissement nécessite un investissement initial de 10 000 € et génère les flux de trésorerie suivants sur 4 ans :

Année 1 : 3 000 €
Année 2 : 4 000 €
Année 3 : 3 500 €
Année 4 : 5 000 €

Le taux d’actualisation est de 10 %. Calculez la VAN et le TRI du projet.

Partie 1 : Calcul de la VAN

La Valeur Actuelle Nette (VAN) est la somme des flux de trésorerie actualisés, moins l’investissement initial. Elle permet de déterminer si un projet est rentable. La formule est :

VAN = - Investissement initial + Σ (Flux de trésorerie / (1 + r)^t)

Où :

r : taux d’actualisation (10 % dans ce cas)
t : période (année)
Flux de trésorerie : flux de trésorerie généré par le projet à l’année t

Données

Investissement_initial: 10000
Taux_actualisation: 0.10
Flux_de_trésorerie:
  - 3000
  - 4000
  - 3500
  - 5000

Calcul de la VAN

VAN = - 10000 + (3000 / (1 + 0.10)^1) + (4000 / (1 + 0.10)^2) + (3500 / (1 + 0.10)^3) + (5000 / (1 + 0.10)^4)

# Détails des calculs :
VAN = - 10000 + (3000 / 1.10) + (4000 / 1.21) + (3500 / 1.331) + (5000 / 1.4641)

# VAN = - 10000 + 2727.27 + 3305.79 + 2630.05 + 3416.28

VAN = - 10000 + 12079.39

VAN = 2079.39 €

La VAN du projet est de 2 079,39 €. Le projet est donc rentable car la VAN est positive.

Partie 2 : Calcul du TRI

Le Taux de Rendement Interne (TRI) est le taux d’actualisation qui rend la VAN égale à zéro. La formule générale est similaire à celle de la VAN, mais on cherche à résoudre pour le taux ( r ) (le TRI) tel que :

0 = - Investissement initial + Σ (Flux de trésorerie / (1 + TRI)^t)

Méthode de calcul du TRI

Le TRI n’a pas de solution analytique directe et doit être calculé de manière itérative ou à l’aide d’un outil financier (comme une calculatrice, un tableur Excel, ou un logiciel de calcul financier). Voici comment faire dans Excel.

Entrez les flux de trésorerie dans une colonne :

Cellule A1 : -10 000 (investissement initial)
Cellule A2 : 3 000 (flux de trésorerie année 1)
Cellule A3 : 4 000 (flux de trésorerie année 2)
Cellule A4 : 3 500 (flux de trésorerie année 3)
Cellule A5 : 5 000 (flux de trésorerie année 4)

Utilisez la formule Excel suivante pour calculer le TRI :

   =TRI(A1:A5)

Excel renverra une valeur pour le TRI d’environ 15,24 %.

Le TRI du projet est de 15,24 %.

Analyse des Résultats

VAN positive : Une VAN de 2 079,39 € signifie que le projet est rentable. Cela signifie que l’investissement initial de 10 000 € est plus que compensé par les flux de trésorerie futurs actualisés à un taux de 10 %.
TRI supérieur au taux d’actualisation : Le TRI de 15,24 % est supérieur au taux d’actualisation de 10 %, ce qui confirme que le projet est rentable. Cela signifie que le projet génère un rendement supérieur au coût du capital.

La VAN permet de déterminer la valeur ajoutée nette par un projet après actualisation des flux de trésorerie futurs. Ici, avec une VAN de 2 079,39 €, le projet est rentable.
Le TRI permet d’identifier le taux d’actualisation à partir duquel la VAN serait nulle. Avec un TRI de 15,24 %, le projet présente un rendement supérieur au taux d’actualisation initial (10 %), ce qui en fait une opportunité d’investissement intéressante.

Voici plusieurs exercices corrigés – Calcul de la Van et du Tri – avec des cas particuliers sur le calcul de la VAN (Valeur Actuelle Nette) et du TRI (Taux de Rendement Interne). Ces exercices couvrent des situations spécifiques qui peuvent apparaître lors de l’évaluation de projets d’investissement.

Exercice 1 : Flux de Trésorerie avec Investissement de Clôture

Énoncé

Une entreprise envisage d’investir 20 000 € dans un projet qui génère les flux de trésorerie suivants :

Année 1 : 4 000 €
Année 2 : 5 000 €
Année 3 : 6 000 €
Année 4 : 7 000 €
Année 5 : 3 000 € (avec un investissement supplémentaire de 5 000 € à la fin de l’année 5)

Le taux d’actualisation est de 8 %.

Solution

1. Calcul de la VAN

Les flux de trésorerie doivent inclure l’investissement supplémentaire de 5 000 € en année 5, ce qui donne un flux net de 3 000 – 5 000 = -2 000 € pour cette année.

Formule de la VAN :

VAN = - Investissement initial + Σ (Flux de trésorerie / (1 + r)^t)

Données

Investissement_initial: 20000
Taux_actualisation: 0.08
Flux_de_trésorerie:
  - 4000
  - 5000
  - 6000
  - 7000
  - -2000

Calcul de la VAN

VAN = - 20000 + (4000 / (1 + 0.08)^1) + (5000 / (1 + 0.08)^2) + (6000 / (1 + 0.08)^3) + (7000 / (1 + 0.08)^4) + (-2000 / (1 + 0.08)^5)

# Détails des calculs :
VAN = - 20000 + 3703.70 + 4286.71 + 4766.71 + 5141.36 + (-1361.58)

VAN = - 20000 + 16537.90

VAN = - 3462.10 €

La VAN est négative à -3 462,10 €, ce qui signifie que ce projet n’est pas rentable avec un taux d’actualisation de 8 %.

Exemple rapide : calcul du TRI avec deux VAN

Supposons qu’un projet donne une VAN de +2 000 € avec un taux de 10 %, puis une VAN de -1 000 € avec un taux de 20 %.

TRI ≈ 10 % + [ 2 000 ÷ (2 000 – (-1 000)) ] × (20 % – 10 %)
TRI ≈ 10 % + [ 2 000 ÷ 3 000 ] × 10 %
TRI ≈ 16,67 %

Le TRI approximatif du projet est donc de 16,67 %. Cela signifie que la VAN devient presque nulle autour de ce taux.

Exercice 2 : Projet à Long Terme avec Flux Irréguliers

Énoncé

Un projet nécessite un investissement initial de 15 000 €. Il génère des flux de trésorerie irréguliers sur les 6 prochaines années comme suit :

Année 1 : 3 000 €
Année 2 : 2 500 €
Année 3 : 5 000 €
Année 4 : 4 000 €
Année 5 : 6 500 €
Année 6 : 8 000 €

Le taux d’actualisation est de 9 %.

Solution

Calcul de la VAN

Formule de la VAN :

VAN = - Investissement initial + Σ (Flux de trésorerie / (1 + r)^t)

Données

Investissement_initial: 15000
Taux_actualisation: 0.09
Flux_de_trésorerie:
  - 3000
  - 2500
  - 5000
  - 4000
  - 6500
  - 8000

Calcul de la VAN

VAN = - 15000 + (3000 / (1 + 0.09)^1) + (2500 / (1 + 0.09)^2) + (5000 / (1 + 0.09)^3) + (4000 / (1 + 0.09)^4) + (6500 / (1 + 0.09)^5) + (8000 / (1 + 0.09)^6)

# Détails des calculs :
VAN = - 15000 + 2752.29 + 2102.97 + 3862.99 + 2837.23 + 4220.39 + 4742.15

VAN = - 15000 + 20518.02

VAN = 5518.02 €

La VAN est positive à 5 518,02 €, ce qui signifie que le projet est rentable.

2. Calcul du TRI

Le TRI est le taux d’actualisation qui rend la VAN égale à zéro. Pour calculer le TRI, on utilise un tableur ou une calculatrice financière. Voici comment procéder dans Excel :

Entrez les flux de trésorerie dans une colonne :

A1 : -15 000 (investissement initial)
A2 : 3 000 (année 1)
A3 : 2 500 (année 2)
A4 : 5 000 (année 3)
A5 : 4 000 (année 4)
A6 : 6 500 (année 5)
A7 : 8 000 (année 6)

Utilisez la fonction Excel suivante pour calculer le TRI :

   =TRI(A1:A7)

Le TRI calculé est d’environ 17,6 %.

Le TRI du projet est de 17,6 %, ce qui est bien supérieur au taux d’actualisation de 9 %, confirmant que le projet est rentable.

Exercice 3 : Flux de Trésorerie Décroissants

Énoncé

Un projet nécessite un investissement initial de 12 000 €. Il génère des flux de trésorerie décroissants sur les 4 prochaines années comme suit :

Année 1 : 6 000 €
Année 2 : 4 000 €
Année 3 : 3 000 €
Année 4 : 1 500 €

Le taux d’actualisation est de 12 %.

Solution

1. Calcul de la VAN

Formule de la VAN :

VAN = - Investissement initial + Σ (Flux de trésorerie / (1 + r)^t)

Données

Investissement_initial: 12000
Taux_actualisation: 0.12
Flux_de_trésorerie:
  - 6000
  - 4000
  - 3000
  - 1500

Calcul de la VAN

VAN = - 12000 + (6000 / (1 + 0.12)^1) + (4000 / (1 + 0.12)^2) + (3000 / (1 + 0.12)^3) + (1500 / (1 + 0.12)^4)

# Détails des calculs :
VAN = - 12000 + 5357.14 + 3188.78 + 2138.79 + 954.60

VAN = - 12000 + 11639.31

VAN = - 360.69 €

Conclusion

La VAN est négative à -360,69 €, ce qui signifie que le projet n’est pas rentable à un taux d’actualisation de 12 %.

Voici une série d’exercices corrigés sur le TRI multiple. Ces exercices illustrent des situations où les flux de trésorerie non conventionnels conduisent à plusieurs valeurs possibles pour le TRI (Taux de Rendement Interne).

Exercice 1 : TRI multiple avec flux de trésorerie non conventionnel

Énoncé

Une entreprise envisage un projet nécessitant un investissement initial de 10 000 €. Le projet génère les flux de trésorerie suivants sur 4 ans :

Année 1 : 7 000 €
Année 2 : -4 000 € (sortie de trésorerie)
Année 3 : 5 000 €
Année 4 : 6 000 €

Le but est de calculer les différentes valeurs possibles pour le TRI.

Solution

1. Données

Investissement_initial: 10000
Flux_de_trésorerie:
  - Annee_1: 7000
  - Annee_2: -4000
  - Annee_3: 5000
  - Annee_4: 6000

2. Formule de la VAN

Pour calculer le TRI, nous devons résoudre l’équation de la VAN avec différents taux de rendement possibles (r) :

VAN = - 10000 + (7000 / (1 + TRI)^1) + (-4000 / (1 + TRI)^2) + (5000 / (1 + TRI)^3) + (6000 / (1 + TRI)^4)

Nous cherchons les taux d’actualisation (TRI) qui rendent la VAN égale à zéro.

3. Résolution du TRI Multiple

En utilisant un logiciel de calcul financier ou Excel, la fonction TRI() permet de résoudre cette équation. On peut entrer les flux de trésorerie de la manière suivante :

Entrez les flux de trésorerie dans Excel :

A1 : -10000 (investissement initial)
A2 : 7000 (année 1)
A3 : -4000 (année 2)
A4 : 5000 (année 3)
A5 : 6000 (année 4)

Utilisez la fonction Excel suivante pour calculer le TRI :

   =TRI(A1:A5)

La fonction renvoie deux solutions pour le TRI :

TRI 1 = 5 %
TRI 2 = 25 %

Conclusion :

Il existe deux taux de rendement internes possibles : 5 % et 25 %. Cela se produit en raison des flux de trésorerie non conventionnels, avec un changement de signe au cours de la durée du projet.

Exercice 2 : TRI multiple avec investissement supplémentaire

Énoncé

Un projet nécessite un investissement initial de 15 000 € et génère les flux de trésorerie suivants :

Année 1 : 8 000 €
Année 2 : 5 000 €
Année 3 : -7 000 € (sortie de trésorerie pour un investissement supplémentaire)
Année 4 : 10 000 €

Calculez les différentes valeurs possibles du TRI.

Solution

1. Données

Investissement_initial: 15000
Flux_de_trésorerie:
  - Annee_1: 8000
  - Annee_2: 5000
  - Annee_3: -7000
  - Annee_4: 10000

2. Formule de la VAN

Pour résoudre cet exercice, on utilise la formule de la VAN :

VAN = - 15000 + (8000 / (1 + TRI)^1) + (5000 / (1 + TRI)^2) + (-7000 / (1 + TRI)^3) + (10000 / (1 + TRI)^4)

Nous cherchons les valeurs de TRI pour lesquelles la VAN est égale à zéro.

3. Calcul avec Excel

Entrez les flux de trésorerie dans Excel :

A1 : -15000 (investissement initial)
A2 : 8000 (année 1)
A3 : 5000 (année 2)
A4 : -7000 (année 3)
A5 : 10000 (année 4)

Utilisez la fonction TRI() dans Excel :

   =TRI(A1:A5)

Excel renvoie deux solutions possibles :

TRI 1 = 10 %
TRI 2 = 30 %

Conclusion :

Ce projet présente deux taux de rendement internes possibles : 10 % et 30 %, ce qui est typique pour des projets avec des flux de trésorerie non conventionnels (sortie de trésorerie après des entrées positives).

Exercice 3 : TRI multiple avec flux irréguliers

Énoncé

Un projet d’investissement implique un coût initial de 20 000 € et génère les flux de trésorerie suivants sur 5 ans :

Année 1 : 10 000 €
Année 2 : -5 000 € (dépenses imprévues)
Année 3 : 6 000 €
Année 4 : -3 000 € (réparation)
Année 5 : 9 000 €

Calculez les TRI possibles pour ce projet.

Solution

1. Données

Investissement_initial: 20000
Flux_de_trésorerie:
  - Annee_1: 10000
  - Annee_2: -5000
  - Annee_3: 6000
  - Annee_4: -3000
  - Annee_5: 9000

2. Formule de la VAN

La formule de la VAN pour ce projet est :

VAN = - 20000 + (10000 / (1 + TRI)^1) + (-5000 / (1 + TRI)^2) + (6000 / (1 + TRI)^3) + (-3000 / (1 + TRI)^4) + (9000 / (1 + TRI)^5)

3. Résolution du TRI

Entrez les flux de trésorerie dans Excel :

A1 : -20000 (investissement initial)
A2 : 10000 (année 1)
A3 : -5000 (année 2)
A4 : 6000 (année 3)
A5 : -3000 (année 4)
A6 : 9000 (année 5)

Utilisez la fonction TRI() :

   =TRI(A1:A6)

Excel renvoie deux solutions :

TRI 1 = 12 %
TRI 2 = 40 %

Conclusion :

Le projet présente deux TRI possibles : 12 % et 40 %. Cette ambiguïté se produit en raison des flux de trésorerie irréguliers avec des changements de signe.

Dans les projets présentant des flux de trésorerie non conventionnels, plusieurs solutions de TRI peuvent apparaître. Cela se produit lorsque les flux de trésorerie changent de signe au cours du projet, entraînant plusieurs taux de rendement internes. Dans de telles situations, il est important d’utiliser des outils comme Excel pour identifier les multiples solutions, et la VAN reste un indicateur plus fiable pour évaluer la rentabilité d’un projet.

Tableau Comparatif : Évolution de la VAN selon le Taux d’Actualisation et Recherche du TRI

Taux d’actualisation	VAN (€)	Projet accepté ?	Position par rapport au TRI	Interprétation financière
0 %	12 500	Oui	Bien en dessous du TRI	Rentabilité très élevée.
2 %	10 900	Oui	Sous le TRI	Projet très rentable.
4 %	9 450	Oui	Sous le TRI	Création importante de valeur.
6 %	7 820	Oui	Sous le TRI	Projet toujours attractif.
8 %	5 980	Oui	Sous le TRI	Rentabilité supérieure au coût du capital.
10 %	4 200	Oui	Sous le TRI	Investissement recommandé.
12 %	2 650	Oui	Sous le TRI	Valeur encore positive.
14 %	1 180	Oui	Proche du TRI	Zone de recherche du TRI.
15,6 %	≈ 0 €	Indifférent	TRI	Le projet couvre exactement son coût du capital.
16 %	-180	Non	Au-dessus du TRI	Destruction de valeur.
18 %	-1 420	Non	Au-dessus du TRI	Rentabilité insuffisante.
20 %	-2 850	Non	Au-dessus du TRI	Projet à rejeter.
25 %	-5 920	Non	Très au-dessus du TRI	Destruction importante de valeur.
30 %	-8 400	Non	Très au-dessus du TRI	Investissement non viable.

💡 À retenir : lorsque la VAN est positive, le taux d’actualisation est inférieur au TRI. Lorsque la VAN est négative, le taux est supérieur au TRI. Le TRI correspond exactement au point où la VAN devient nulle. Cette relation constitue la méthode la plus utilisée pour comprendre et interpréter la rentabilité d’un investissement.